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valore atteso di una v.c. continua

MessaggioInviato: 16/05/2019, 15:02
da Clairecc
buongiorno a tutti,

mi sono giusta cimentata nel calcolo del valore atteso di una variabile causale continua e ho un problema nel capire come si è giunti ad un determinato risultato.
si tratta del valore atteso $E(X)= \int_{-infty}^{+infty} x \lambda e^{\-lambda x} dx$
sono arrivata a risolvere l'integrale solo che il risultato che il libro da ($1/\lambda$) mi riesce solo se pongo l'integrale definito tra 0 e $ + infty $ e non riesco a capire come il libro sia potuto arrivare a quella conclusione dato l'intervallo $(-infty ; + infty)$ :? .
Per caso centra l'integrale Gaussiano per cui quando si ha esponente pari di un'integrale allora si integra per $2\int_{0}^{+infty}x ... $ o non centra nulla?
purtroppo mi sono bloccata e non riesco ad andare avanti, grazie a chiunque voglia aiutarmi.

Re: valore atteso di una v.c. continua

MessaggioInviato: 16/05/2019, 15:22
da tommik
c'è un evidente errore nel libro.

EDIT: potrebbe anche andare bene come ha scritto il libro, a patto di indicare che la funzione di densità è questa

$f(x)=lambdae^(-lambdax)mathbb{1}_([0;+oo))(x)$ e quindi l'integrale per valori negativi di x fa zero, essendo zero l'integranda


Ad ogni modo è la media di una esponenziale negativa che è definita in $[0;+oo)$ e $lambda>0$

PS: hai cambiato il testo :smt071 ....prima c'era un $x^2$ all'esponente o me lo sono sognato1???

Clairecc ha scritto:si tratta del valore atteso $E(X)= \int_{-infty}^{+infty} x \lambda e^{\-lambda x^2} dx$


A questo punto, per punizione2, dovresti calcolare questo con la stessa distribuzione esponenziale

$mathbb{E}[X^n]=int_(0)^(+oo)x^nlambdae^(-lambdax)dx=?$ con $n in NN$

Note

  1. sarebbe stato comunque un errore aggiuntivo
  2. punizione istruttiva, ovviamente, e non repressiva

Re: valore atteso di una v.c. continua

MessaggioInviato: 16/05/2019, 17:01
da Clairecc
caspita che occhio che hai :-D , comunque c'è una spiegazione è da ieri che stavo cercando di trovare una soluzione per $\int_{-infty}^{+infty} $ oggi ho ripreso ma erroneamente stavo cercando di risolvere con l'esponente quadrato :oops: per questo in internet trovavo l' itegrale di Gauss, che se non ho capito male serve a trovare il volume sottostante alla curva e non l'area.
comunque grazie, quindi considero sempre l'intervallo $[0,+infty]$ quando calcolo valore atteso o valore medio...

per quanto riguarda la punizione, almeno che io non abbia compreso male quello che devo fare visto che sono discretamente fusa, è un pò hard per me :-D e fortunatamente non è neanche in programma, almeno una gioia :-D

ti ringrazio, non fosse stato per te starei ancora scervellandomi :roll:.
EDIT:Intervallo $[0,+ infty )$

Re: valore atteso di una v.c. continua

MessaggioInviato: 17/05/2019, 10:05
da tommik
Clairecc ha scritto: per questo in internet trovavo l' itegrale di Gauss, che se non ho capito male serve a trovare il volume sottostante alla curva e non l'area.


:shock: :shock:

Forse, e sottolineo che questa è solo una mia opinione, invece di zampettare in internet è meglio rifarsi al libro di testo che ti è stato fornito dal docente.

Ad ogni modo, la media di una variabile continua è definita in vari modi ma il più comune è questo:

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$

dove con $int_(-oo)^(+oo)$ si intende l'integrale su TUTTO il supporto della variabile.

Nel tuo caso, la variabile è una esponenziale negativa, definita in $RR^+$ e quindi la media viene

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(0)^(+oo)xlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda$

Se la variabile fosse stata, ad esempio, una Gaussiana la sua media sarebbe stata

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(-oo)^(+oo)x 1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)dx="....pochi passaggi..."=mu$

Se fosse stata una uniforme $X~ U(a;b)$ sarebbe stata


$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(a)^(b)x1/(b-a)dx=(a+b)/2$

ecc ecc

Per quanto riguarda l'esercizio che ti ho proposto mi sembra strano che non sia parte del programma (ovviamente dipende da che studi stai facendo): è il calcolo dei momenti di una variabile esponenziale negativa1, che si risolve in due passaggi a patto di conoscere cosa sia una funzione gamma

Infatti,

$mathbb{E}[X^n]=int_(0)^(+oo)x^nlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda^nint_(0)^(+oo)(lambdax)^n e^(-lambdax)d(lambdax)=1/lambda^n Gamma(n+1)=(n!)/lambda^n$

da cui subito (e senza risolvere alcun integrale)

$mathbb{E}[X]=1/lambda$

$mathbb{E}[X^2]=2/lambda^2$

ecc ecc

Note

  1. qui invece puoi trovare la dimostrazione del calcolo dei momenti di una Gaussiana, cosa altrettanto utile

Re: valore atteso di una v.c. continua

MessaggioInviato: 17/05/2019, 17:13
da Clairecc
grazie mille! sei molto gentile.

Spieghi molto bene, fai per caso il professore?

comunque la normale o gaussiana l'ho giusto studiata questa mattina... ahimè ho scoperto che ho pure la gamma in programma, la studierò nei prossimi giorni, quindi grazie ancora per i link molto utili. :D