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Coppie di variabili aleatorie con dominio con massimi

18/05/2019, 11:28

Salve, ho un esercizio riguardante lo studio delle pdf marginali da una pdf congiunta.
La pdf congiunta è $ f(x,y) = { (ay),( 0 ):} $
di cui la prima vale se $ x in (-1;1) $ e $ y in (MAX(x,0);MAX(x,0)+1) $
quindi il grafico arriva ad essere un quadrato nel secondo quadrante e un parallelogramma alzato nel primo.
Secondo i miei calcoli $ a=2/3 $ , la $ f_X(x) $ è valida ma quando calcolo la $ f_Y(y) $ e vado a ribaltare il grafico ho che il quadrato si trova nel quarto quadrante e non so come integrare quella parte, mentre quella che è rimasta nel primo dovrebbe valere $ 2/3y $ .
Per intuito ho calcolato l'integrale in $ (-1,0) $ ma risulta essere l'opposta di quella riguardante il parallelogramma, da cui verrebbe che il valore dell'integrale su tutto il dominio venga nullo, ma non so se sia giusto.
Grazie mille in anticipo.

Re: Coppie di variabili aleatorie con dominio con massimi

19/05/2019, 17:07

Se la $f_X(x)$ ti torna non sto a fare conti

La $f_Y(y)$ viene così

$f_Y(y)={{: ( 2/3y(y+1) , ;0<=y<1 ),( 2/3y(2-y) , ;1<=y<2 ),( 0 , ;"Altrove") :}$


Ludwyg ha scritto:... ma quando calcolo la $ f_Y(y) $ e vado a ribaltare il grafico ho che il quadrato si trova nel quarto quadrante e non so come integrare quella parte, mentre quella che è rimasta nel primo dovrebbe valere $ 2/3y $ .
Per intuito ho calcolato l'integrale in $ (-1,0) $ ma risulta essere l'opposta di quella riguardante il parallelogramma, da cui verrebbe che il valore dell'integrale su tutto il dominio venga nullo, ma non so se sia giusto.


Sinceramente faccio molta fatica a capire tutto questo inutile e fuorviante marchingegno per integrare rispetto ad uno o l'altro asse....

Hai fatto il disegno e mi pare tu lo abbia descritto correttamente

Immagine

E' chiaro che il supporto della variabile $Y in [0;2]$

così come è altrettanto chiaro che per

$Y in [0;1]$ basta integrare la $X$ in questo modo $int_(-1)^(y)f(x,y)dx=2/3y(y+1)$

mentre per

$Y in [1;2]$ basta integrare la $X$ in questo modo $int_(y-1)^(1)f(x,y)dx=2/3y(2-y)$

fine
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