Esercizio sul valore atteso condizionato

Messaggioda Ingegnato » 18/05/2019, 14:06

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:

Un segmento di lunghezza L data viene diviso a caso in due parti, una delle quali, detta
X, e` usata come base e l’altra quale altezza di un rettangolo. Sia A l’area del rettangolo.

Calcolare E(A) direttamente (se i calcoli sono fattibili) e usando la formula del
valore atteso iterato.

Ora, so che usando la formula del valore atteso iterato si può dire che:
$ E(A|X = x) = x(L − x) $ quindi $ E(A|X) = X(L − X) $ dove X è uniforme in $ [0, L]. $
Usando la formula del valore atteso ottengo quindi: $ E(A) = E(X(L − X)) = int_(0)^(L)x(L − x)1/Ldx = int_(0)^(L)xdx - int_(0)^(L)x^2/Ldx =L^2/6 $

E questo era il modo "corretto" di risolvere l' esercizio.
Però se volessi procedere brutalmente e calcolare la densità prima di $ A│X $ e poi di $ A $ per poi calcolare il valore atteso mi blocco prima di impostare i calcoli.

Qualcuno che mi aiuti? Grazie in anticipo!
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Re: Esercizio sul valore atteso condizionato

Messaggioda tommik » 18/05/2019, 21:38

Se il problema (che effettivamente può risultare utile) è quello di determinare la legge dell'area, osserva che per caratterizzare la distribuzione di A non serve passare per la distribuzione condizionata. Sai che $X~U(0;L)$ ovvero $f_X(x)=1/L$ e che l'area è funzione di X

$A=-X^2+XL$

trasformi la variabile con le usuali tecniche1 ottenendo la legge di A:

$F_A(a)=1-sqrt(L^2-4a)/L$ e ne calcoli subito la media2

$mathbb{E}[A]=int_0^(L^2/4)sqrt(L^2-4a)/L da=...=L^2/6$

...ricorda ovviamente che l'area ha un argmax in $x=L/2$ e quindi il supporto dell'area è $A in [0;L^2/4]$

Note

  1. io ho usato il metodo della Funzione di Ripartizione
  2. ricordando che se la variabile assume valori non negativi la media la puoi calcolare anche così $mathbb{E}[X]=int_0^(+oo)[1-F(x)]dx$
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Esercizio sul valore atteso condizionato

Messaggioda Ingegnato » 21/05/2019, 13:37

Grazie infinite! In effetti non ci avevo pensato a questo procedimento... mi hai aperto la mente! Grazie ancora!
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