sia $X$ una v.a. reale con funzione di ripartizione $F(x)$, allora $∀ n ∈ N$, $1 − (1 − F(x))^n$ è una
funzione di ripartizione. Vero o Falso?
Elenco alcuni tentativi di risoluzione, tutti contro un muro:
Assumo che $F'(x) = f(x)$
Per induzione:
son partito dal passo base $n=1$, banale
$1-(1-F(x)) = F(x) $
passo $n$
$1-(1-F(x))^n =_(derivo) nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x)) = P(n)$
$n = n+1$
$1-(1-F(x))^(n+1) =_(derivo) n(1-F(x))^nf(x) + (1-F(x))f(x) = (1-F(x))(nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x))+1) = (1-F(x)) (P(n)+1) = P(n+1)$
Da qua buio completo e mi son chiesto: se fosse falso?
faccio un tentativo con $X$ $- Exp(lambda)$ ed altre v.a. continue e la formula è verificata.
se la vedessi come
$1-(1-F(x))^n = 1-(mathbb(P)(X>n))^n$ non saprei da che parte sbattere.
Un'altra strada che ho pensato:
$F'(x) = f(x)$, affinchè $f$ sia densità, $int_(-oo)^(+oo) f(y) dy = 1$
siccome $P(n) $ era la derivata della formula,
$int_(-oo)^(+oo) nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x)) =1$
$=-[1-F(x)]_(-oo)^(+oo)$ ricordo dalla teoria che $lim_(x->-oo) F(x) = 0$ , $lim_(x->+oo) F(x) = 1$
dunque l'integrale sarebbe $1$ , ma non ne sono del tutto convinto, ho qualche lacuna di analisi