Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda WhiteSte » 24/05/2019, 00:14

sia $X$ una v.a. reale con funzione di ripartizione $F(x)$, allora $∀ n ∈ N$, $1 − (1 − F(x))^n$ è una
funzione di ripartizione. Vero o Falso?


Elenco alcuni tentativi di risoluzione, tutti contro un muro:
Assumo che $F'(x) = f(x)$

Per induzione:
son partito dal passo base $n=1$, banale
$1-(1-F(x)) = F(x) $ :lol:
passo $n$
$1-(1-F(x))^n =_(derivo) nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x)) = P(n)$
$n = n+1$
$1-(1-F(x))^(n+1) =_(derivo) n(1-F(x))^nf(x) + (1-F(x))f(x) = (1-F(x))(nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x))+1) = (1-F(x)) (P(n)+1) = P(n+1)$

Da qua buio completo e mi son chiesto: se fosse falso?
faccio un tentativo con $X$ $- Exp(lambda)$ ed altre v.a. continue e la formula è verificata.

se la vedessi come
$1-(1-F(x))^n = 1-(mathbb(P)(X>n))^n$ non saprei da che parte sbattere.

Un'altra strada che ho pensato:
$F'(x) = f(x)$, affinchè $f$ sia densità, $int_(-oo)^(+oo) f(y) dy = 1$
siccome $P(n) $ era la derivata della formula,
$int_(-oo)^(+oo) nf(x)(1-F(x))^n/(1-F(x)) =1$
$=-[1-F(x)]_(-oo)^(+oo)$ ricordo dalla teoria che $lim_(x->-oo) F(x) = 0$ , $lim_(x->+oo) F(x) = 1$
dunque l'integrale sarebbe $1$ , ma non ne sono del tutto convinto, ho qualche lacuna di analisi
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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda tommik » 24/05/2019, 00:57

la funzione data è la funzione di ripartizione del minimo di n variabili aleatorie iid

quindi la risposta è "Vero".

$Z=min(X_1,...,X_n)$

$P[Z>z]=P[X_1>z,...,X_n>z]=[1-F_X(z)]^n$

$F_Z(z)=1-[1-F_(X_(1))(z)]^n$

;)
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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda WhiteSte » 24/05/2019, 01:22

Quindi ho perso metà pomeriggio a spaccarmi di conti inutili.. non ho neanche pensato di considerare X come vettore di variabili iid. Grazie
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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda tommik » 24/05/2019, 20:47

WhiteSte ha scritto:Quindi ho perso metà pomeriggio a spaccarmi di conti inutili...


e va beh...però scusa, a parte il fatto che l'espressione della distribuzione del minimo (come quella del massimo) dovresti averla vista più volte studiando la teoria, ma anche senza conoscere nulla potevi molto semplicemente risolvere così:

Domanda $F_Z=1-(1-F_X)^n$ è una funzione di ripartizione?

Basta controllare che la $F_Z$ soddisfi le proprietà di una funzione di ripartizione, ovvero

1) $lim_(z rarr -oo)F_Z=0$

2) $lim_(z rarr +oo)F_Z=1$

3) $F_Z$ non decrescente

1) ok

2) ok

3) derivi e ottieni $F'_Z(z)=nf_X(z)[1-F_X(z)]^(n-1)>=0 AAz$

Tutto ok....quindi vero

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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda WhiteSte » 27/05/2019, 08:30

no, ho cercato ma la funzione di minimo negli appunti non la trovo. Anche quelle 3 proprietà in realtà le avevo segnate, ma non avevo capito che bastavano come condizione per definire una FR. Grazie, ho aggiornato gli appunti
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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda tommik » 28/05/2019, 17:42

WhiteSte ha scritto:no, ho cercato ma la funzione di minimo negli appunti non la trovo. Anche quelle 3 proprietà in realtà le avevo segnate, ma non avevo capito che bastavano come condizione per definire una FR.


Il fatto che la funzione di minimo non ci sia sui tuoi appunti (e quindi probabilmente nemmeno in programma) da un lato mi lascia basito ma dall'altro fa comprendere la ratio della domanda che, in caso contrario, avrebbe risposta immediata ed univoca.

Ti faccio anche notare che le proprietà indicate sulla funzione di ripartizione sono esattamente le stesse che usi comunemente per verificare se una funzione è una valida densità.

Tu di solito, per vedere se una determinata funzione è una "vera" funzione di densità, controlli che

1) $f(x)>=0 AAx harr (dF)/(dx)>=0 AAx$

2) $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=1 harr F(+oo)=1$

quindi semmai ti ho indicato una proprietà aggiuntiva....che ha una sua ragione ma non sto a dettagliare il caso.....
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Re: Quesito su funzione di ripartizione

Messaggioda WhiteSte » 28/05/2019, 18:25

tommik ha scritto:
1) $f(x)>=0 AAx harr (dF)/(dx)>=0 AAx$

2) $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=1 harr F(+oo)=1$


si chiaro, del punto 2) sapevo solo la parte sinistra dell'uguaglianza, ma effettivamente, la parte destra è una banale conclusione
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