Problema Probabilità Bello e Pronto...

[Piera]

No, non ti preoccupare, quelli non ce li metto, ma quello sulla parabola si.
Non ti sei chiesto perchè ti avevo detto dove studiavi?
Visto che mi stai simpatico, ecco la traccia del compito.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Visto che Giova sei una persona di spirito e che stai allo scherzo (almeno credo), mi sono permesso do scherzare con te!
Puoi tornare a darmi del tu visto che NON sono il tuo professore!
Piaciuto lo scherzetto? Ti ho fatto paura?

[Giova411]

Si, poi l'avevo capito che stavi scherzando. Ricordo che hai visto il sito del mio prof. Se tu lo fossi stato sarebbe stato una figata! Lo dico solo perché così sarei venuto al ricevimento (che nn ho mai fatto in tutta la vita!) volentieri e anche con un po' di confidenza in +.

Bello scherzetto però! Nei primi 10 secondi ci son cascato, poi mi son piegato dalle risate!


PS: ora che hai visto che c'è lo SPOiLEr lo metti ovunque?! Quello mette Suspance come nei film che ti ho consigliato. A proposito: hai visto Fight Club?! E' tra i miei preferiti!

[Piera]

Ritornando seri, se non sai quali esercizi fare per prepararti al compito, te ne posso proporre alcuni io in un topic a parte, come hai suggerito.
Ho visto quel film.

[Giova411]

Certo non so che dirti... Grazie?! Sarebbe troppo poco...
Sicuramente mi saranno utili e credo che saranno utili anche a molti utenti del Forum visto e considerato che hai le conoscenze per poter seguire anche una sezione dedicata alla prob e statistica.
Sarebbe un'idea! Chiediamo all'admin se apre una sezione "Probabilità e Statistica" dove tu potresti fare il moderatore! Magari insieme a Luca e Nicola! Grande idea direi!

PS: ma l'es sulla parabola è finito?!

[Giova411]

Già lo vedo!
Io sarò un semplice utente fisso... Ovviamente...

Piaciuto Fight Club? Edward Norton è uno dei + bravi! Pure Brad Pitt è bravo!

Altro gran film:
L'esercito delle 12 scimmie

[Piera]

Credo che il forum matematica per l'economia o università siano più che sufficienti. Le richieste di prob. e stat. non sono tante.
Sinceramente non ho interesse a fare il moderatore.
Domani vedo di proporti 4/5 esercizi sulla probabilità discreta e su quella continua.

[Giova411]

OK,
Grazie Professò!

Cordiali Saluti

[Piera]

Ho visto che hai altri esercizi in cui trovi difficoltà.
Pensavo che avessi esaurito la scorta del tuo prof.
Per questo motivo te no propongo solo due.

1) Tre colpi vengono tirati indipendentemente su un bersaglio. Le probabilità di centrarlo sono rispettivamente $p_1,p_1,p_3$.
Calcolare la probabilità che
(i) un solo colpo centri il bersaglio;
(ii) almeno un colpo centri il bersaglio.

2) Determinare la media della v.a.
$z=[min(X,Y)]^3+min(X,Y)$,
dove $X,Y$ sono indipendenti e uniformi (0,1).

[Giova411]

1) Tre colpi vengono tirati indipendentemente su un bersaglio. Le probabilità di centrarlo sono rispettivamente $p_1,p_2,p_3$.
Calcolare la probabilità che
(i) un solo colpo centri il bersaglio;
(ii) almeno un colpo centri il bersaglio.

Vediamo se posso aiutarti a risolvere il primo (tra un po' pure il secondo)

i) $P(X=1) = (p_1)(1-p_2)(1-p_3) + (1-p_1)(p_2)(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)(p_3)$
ii) $P(X>=1) = 1 - (P=0) = (1-p_1)(1-p_2)(1-p3)$


Forse avrei dovuto dividere entrambi per "Area tot bersaglio" ?

[Giova411]

2) Determinare la media della v.a.
$z=[min(X,Y)]^3+min(X,Y)$,
dove $X,Y$ sono indipendenti e uniformi (0,1).

Trovo prima [min(X,Y)]
$1-F_z(z) = 1 - P[Z<z] = P[Z>z] = P[min{X,Y}>z] = P[X>z,Y>z]= P[X>z]*P[Y>z] = (1 - P[X<=Z])(1-P[y<=z] )= (1-F_x(z))(1-Fy(z))=(1-z)(1-z)$

Nell'ultima parte ho utilizzato l'indipendenza di X e Y. Poi $F_x(z)=int_0^z f_x(t)dt = int_0^z 1dt = z$ analogamente per $F_y(z)=z$ perché le densita $f_x=f_y=1=1/(1-0)$

Però siccome siamo partiti da $1-F_z(z)$ allora $F_z(z) = 1-(1-z)(1-z)$

$z=[min(X,Y)]^3 = (F_z(z))^3 = ( 1-(1-z)(1-z) )^3 = -z^6 + 6z^5-12z^4+8z^3-z^2+2z$ (Distribuzione di Z)

(densità di Z) $ f_z(z) = -6z^5+30z^4-48z^3+24z^2-2z+2$

Per la media quindi ricordandoci l'intervallo [0,1]:
$int_0^1 z*(f_z(z)) dz = ... = 92/105$