Siano $X$ e $Y$ i.i.d. con $X, Y ∼ U([0, 1])$. Si definisca $U := XY + 1 − X$.
(i) si calcoli la densità congiunta di $(Y, U)$;
(ii) si calcoli la densità di $U$;
(iii) si calcoli il coefficiente di correlazione $ρ$ tra $Y$ e $U$
Per il punto 1, ho usato due metodi di risoluzione che portano a due risultati diversi, quindi è palese che da qualche parte c'è un buco
(i)
METODO 1, CAMBIO VARIABILE
ho bisogno di 4 elementi
. $f_(x,y)$ essendo due uniformi iid, $-> 1$
. $phi_(x,y)$ $->(y,xy,1-x)$
. $phi^(-1)(u,v)$ $-> (u,(u-1)/(v-1))$
.$det|J|$ $= 1 /|u-1|$ ma $0<u<1$ quindi $=1/(u-1)$ con $J=| ( 1 , 0 ),( -(v-1)/(u-1)^2 , 1/(u-1) ) | $
ora applico $f_(u,v) =f_(x,y)(phi^-1(u,v))*|det J| = 1/(u-1) = 1/(y+1)$
Con funzione di riparizione
$F_u(u) = mathbb(P)(U<=u) = mathbb(P)(XY+1-X<=u) = mathbb(P)(X<=(u-1)/(Y-1)) = F_X((u-1)/(y-1))$
$F_X(x)= x -> F_u(u) = (u-1)/(y-1)$
mi sono accorto in questo momento che devo derivare la funzione di ripartizione, stavo uguagliando congiunta con $F_U$ , per quello non tornavano i conti
comunque già che ci sono scrivo tutto l'esercizio$f_u(u)= F'(u)= 1/(y+1)$
$f_Y=1 -> f_(y,u) = 1/(y+1)$ che è il prodotto delle marginali, essendo x,y iid.
ii)
già trovata a questo punto, quindi il metodo con funzione di ripartizione sarebbe più efficace
iii) il coeff di correlazione è 0 perchè essendo indipendenti $Cov(Y,U)=0$ no?
tutto da rifare.....
)
