Varianza trasformazione lineare

[Clairecc]

Salve a tutti,

Oggi sono alle prese con una dimostrazione di una varianza di una trasformazione lineare.
Partendo dalla formula $\sigma_x^2= E(X^2)- E(X)^2$ bisogna dimostrare che $\sigma_{\alpha X+\beta}^2=\alpha^2\sigma_x^2$.
Allora ho fatto $(\alphaX+\beta)- E[\alphaX+\beta]= \alphaX+\beta - \alpha E(X)-\beta$ e quindi $\alpha(X-E(X))$ quindi porto tutto al quadrato e mi viene $E[\alpha^2(X-E(X)^2]$ e quindi il risultato da dimostrare.
Adesso il prof chiede di spiegare perché se X dipendesse da $\beta$ sarebbe un caso bizzarro e per molti versi preoccupante.
Qualcuno potrebbe indirizzarmi nella risposta? Sinceramente non ho idea di che fare...
Ringrazio in anticipo chi voglia aiutarmi.

[tommik]

senza perdere di generalità pongo $alpha=1$ così tolgo un parametro inutile...

Hai dimostrato (peraltro senza usare la relazione richiesta dall'esercizio, quindi se il testo è esattamente quello che hai scritto io la dimostrerei partendo dalla relazione data) correttamente che

$V(X+theta)=V(X)$

ora ti si chiede: se X dipendesse da $theta$ troveresti un risultato bizzarro.....non capisco proprio

ES 1:

$X~N(0;theta)$

Allora $(X+theta)~N(theta;theta)$

e $V(X+theta)=theta=V(X)$

ES 2:

$X~N(theta;1)$

Allora $(X+theta)~N(2theta;1)$

e $V(X+theta)=1=V(X)$

cosa ci sia di bizzarro non so proprio... a me pare tutto normale....forse il testo non era quello oppure il prof aveva intenzione di chiedere altro? Forse $theta$ ha una sua distribuzione?

EDIT: ops...ho usato $theta$ invece di $beta$....tanto è un parametro

ah...l'ho posto $>0$ ma non penso sia un problema

[Clairecc]

Grazie mille, come sempre sei molto gentile.
Esattamente il Proff.nella dispensa usa l'altra relazione, io ho utilizzato la formula alternativa, comunque sia ti scrivo cosa c'è scritto.

" la formula mostra che la varianza $y_i$ non dipende da $\beta$ ("l'intercetta" della trasformazione). Si spieghi perché il contrario sarebbe stato quantomeno bizzarro e, per molti versi, preoccupante.

Per caso ho malinterpretato il senso?

[tommik]

" la formula mostra che la varianza $y_i$ non dipende da $\beta$

che è falso....e ti ho fatto anche un controesempio....

Prendiamo X che si distribuisce come una normale di media zero e varianza $beta$

$X~N(0;beta)$

Allora $Y=(X+beta)~N(beta;beta)$

e quindi $V(X+beta)=V(X)=beta$

entrambe le varianze dipendono da $beta$

.... o no?

...o probabilmente non ho capito io....o forse il tutto va contestualizzato meglio...

[Clairecc]

No scusami sono io che sono un po' in difficoltà mi stai proponendo la trasformazione lineare di una v.c.normale, quello l'ho capito, ma fai conto che per il programma che faccio io le normali vengono a malapena enunciate, cioè so che $V(X)=\sigma^2$, che tu hai posto come $\beta$...
Perdonami capisco che vuoi dirmi qualcosa, ma non riesco a ricondurre il tuo esempio alla domanda iniziale...sorry

Edit: no scusa adesso ho riletto meglio... ho capito $V(X)=\beta$
La cosa che non capisco è: perché dovrebbe essere inquietante la cosa?

[tommik]

Perdonami capisco che vuoi dirmi qualcosa...

Voglio solo dire che così com'è la domanda è decontestualizzata e non si capisce dove si voglia arrivare. Per comprendere dove il prof voglia farti arrivare occorre leggere bene tutto il capitolo a cui l'esempio fa riferimento....le dispense lasciano il tempo che trovano. E' necessario rifarsi al libro di testo.
Provo solo ad "immaginare" ma più di tanto non posso fare (e non voglio fare). Se il problema è ad esempio quelllo di "stimare" $alpha, beta$ non noti sulla base delle variabili $X,Y$ allora è evidente che se $X$ dipende anche da $beta$ abbiamo un bel problema... infatti con tecniche standard trovi che

$hat(beta)=mathbb{E}[Y]-rho_(XY)sigma_Y/sigma_Xmathbb{E}[X]$

$hat(alpha)=rho_(XY)sigma_Y/sigma_X$

cosa che diventa complicata se la $X$ dipende ancora da $beta$

Tutto qui...

[Clairecc]

Appurato che ho scritto una castroneria cancello l'intervento... che è meglio.
Comunque se dovesse servire a qualcuno in futuro, la varianza di $\alphaX+\beta$ si dimentica delle costanti, perché quando si trasla di una costante la varianza non cambia.