verosimiglianza e test d'ipotesi

[Bob23]

Salve a tutti! avrei bisogno di aiuto con questo esercizio!
una compagnia aerea consente ai propri passeggeri di imbarcare gratuitamente un bagaglio a mano purché il peso del bagaglio non superi i 10kg. il personale addetto all'imbarco esegue controlli a campione su ciascun volo della compagnia. il controllo prevede di pesare il bagaglio di tre passeggeri scelti casualmente (tramite estrazioni con reintroduzione) e di annotare il numero di bagagli che superano il limite di 10kg.
1)specificare un modello probabilistico adeguato. illustrare il significato del parametro. calcolare la stima di massima verosimiglianza della probabilità che tutti i bagagli controllati all'imbarco di un volo della compagnia non superino il limite massimo di peso consentito, dati i valori campionari 1,2,0,3 annotati nei controlli eseguiti in alcuni voli scelti casualmente.
2) secondo l'amministratore la probabilità che qualunque bagaglio sottoposto a controllo non superi il limite massimo di peso consentito dalla compagnia è almeno pari a 0,6. per sottoporre a verifica tale ipotesi decide si sviluppare un test che , date quattro osservazioni campionarie i.i.d. estratte dal modello, ha $ s=sum(yi) $ come funzione test e C=9 come valore critico. definire un test basato su tali quantità che sia coerente cin il problema in esame. stabile se il test proposto mantiene entro l'1% la probabilità di rifiutare impropriamente l'ipotesi formulata dall'amministratore. se ciò non accade, individuare un altro valore critico c per la funzione test S in modo da ottenere un test che non superi la soglia dell' 1% per la probabilità di rifiutare impropriamente l'ipotesi.

il modello dovrebbe essere una binomiale $ y~ bi(N=3; sigma) $ in cui il numero di successi è dato dai bagagli oltre il limite. Quindi fatta la verosimiglianza, la log-verosimiglianza e la derivata posta uguale a 0 ottengo la stima per $ hat(sigma ) = sum(y)/(Nn) $ e poi calcolo $ P(Y=0) $ tenendo in considerazione i dati campionari;
mentre nel secondo punto ho maggiori difficoltà, 0,6 dovrebbe essere la probabilità dell'insuccesso quindi il sistema di ipotesi dovrebbe essere H0: $ sigma <= 0,4 $ e H1 $ sigma > 0,4 $ poi diciamo che non riesco a essere sicura del ragionamento.
Ringrazio per l'aiuto!

[tommik]

Spero non sia un problema.

Sì, lo è. Il regolamento vieta di inserire i testi del problema unicamente con immagini, foto o link (art 3.6)

Oltretutto scrivere quel paragrafetto impegna per non più di un paio di minuti...non credi?

Per quanto riguarda il punto 2 basta calcolare la distribuzione binomiale in oggetto per vedere che $mathbb{P}[S>=9|H_0]=1.53%$ mentre $mathbb{P}[S>9|H_0]=0.28%$

Quindi il valore critico per la funzione S in modo da avere un test che non superi la soglia dell'1% per la probabilità di rifiutare impropriamente l'ipotesi nulla è $c=10$

[Bob23]

Grazie delle risposta, provvedo a modificare il testo!

[tommik]

Bene.....ecco anche come risolvere il problema nel dettaglio.


Utilizzando il sistema che hai pensato tu (che è corretto)


${{: ( H_0:p=0.4 ),( H_1:p>0.4 ) :}$

Ti basta disegnare il grafico della binomiale sotto $H_0$ la soluzione ti compare bella e pronta

(cliccami per ingrandirmi)


Come vedi, usando la definizione di ampiezza del test, ovvero

$mathbb{P}[Sigma_i Y_i>c|p=0.4]<=1%$

si vede subito che il c critico è 10

[Bob23]

Grazie ancora, l’unico dubbio che mi è rimasto è che non ho ben chiaro come decidere se considerare il $ >= $ o solo il $ > $ per stabilire la probabilità di commettere un errore di tipo 1

[tommik]

È solo una questione formale. L'unico vincolo è che le due regioni, di rifiuto e di accettazione, formino una partizione dello spazio campionario. Puoi scrivere $S>9$ oppure $S>=10$

Noti differenze nelle due notazioni?

[Bob23]

nono, queste notazioni sono equivalenti, intendo dire nella partizione delle spazio campionario, io ho impostato la regione di rifiuto come $ S> 9 $ invece di S $ S>= 9 $, e non ho ben chiaro come scegliere se mettere anche l'uguale, visto che essendo una variabile discrete mi cambia la probabilità

[tommik]

Dunque, ipotizzando che tu non mi stia prendento bellamente in giro, provo a spiegarmi meglio.

E' vero che in una distribuzione discreta è importante capire se la disuguaglianza sia debole o forte ma è altrettanto vero che, come ti ho detto, formalmente puoi usare sia la debole che la forte, indifferentemente, basta che il risultato delle due regioni formi una partizione dello spazio campionario.

Nel caso in esame il testo di propone come valore critico¹ $c=9$. Ciò può essere espresso in due almeno tre modi diversi:

Si rifiuta $H_0$ se e solo se $ul(y) in C$ dove

1) $C:{ul(y)in ul(Y) " t.c. " Sigma_iy_i>8}$

2) $C:{ul(y)in ul(Y) " t.c. " Sigma_iy_i>=9}$

3) $C:{ul(y)in ul(Y) " t.c. " Sigma_iy_i in {9,10,11,12}}$

Le tre scritture sono del tutto equivalenti. Ciò che importa, come ti ho detto più volte, è che le due regioni in cui dividi lo spazio campionario formino una partizione di tale spazio. Ciò significa che alle 3 regioni di rifiuto corrisponeranno le seguenti 3 regioni di accettazione

1) $Sigma_iy_i<=8$

2) $Sigma_iy_i<9$

3) $Sigma_iy_i in{0,1,2,3,4,5,6,7,8}}$

Quello che non puoi fare è mescolarle....tutto qui.

Cosi come nel tuo risultato, una volta trovato che il valore critico è 10 puoi esprimere la regione critica come ti pare (tra l'altro non è nemmeno richiesto dal testo, ti chiede solo di trovare il valore critico).

Spero di essermi spiegato bene

saluti

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Note

1. il valore critico è il più piccolo valore per il quale vale: errore di prima specie $<=alpha*100%$ ↑

[Bob23]

Si questo mi è chiaro, ho espresso il mio dubbio in modo un po’ confuso poiché ho poca dimestichezza con questi aspetti, però tramite la nota che hai inserito dovrei aver risolto il mio dubbio. ( il valore critico <= alla probabilità )
Ti ringrazio ancora per la risposta e per la pazienza!