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Salve a tutti
L'esercizio in questione non dovrebbe (almeno credo) essere molto difficili:
Ho due variabili aleatorie indipendenti, $ X~exp(1/9) $ e $ Y~Γ(5.4,3) $ ed ho che $ Z = X - Y $ e $ W = 1/2XY $
Mi viene chiesto di trovare $ Var(Z) $, $ Var(W) $ ed infine $ Cov(Z,W) $
Per la prima varianza nessun problema a quanto pare, dato che:
$ Var(Z) = Var(X-Y) = Var(X) + (-1)^2Var(Y) = 1/(1/9)^2 + α/λ^2 = 81,6 $
Ma già $ Var(W) = Var(1/2XY) $ ho problemi a calcolarla..
In più, anche per la covarianza
$ Cov(Z,W) = E(ZW) - E(Z)E(W) $ ma non saprei minimamente come calcolare $ E(ZW) $
Non ho assolutamente idea di come risolvere questi due passaggi, qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille in anticipo

devi ricondurti alle due variabili indipendenti

Es:

$Var[W]=Var[1/2 XY]=1/4Var[XY]$

e poi ricordarti che

$V[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

quindi

$Var[W]=1/4{mathbb{E}[X^2Y^2]-mathbb{E}^2[X]mathbb{E}^2[Y]}=1/4{mathbb{E}[X^2]mathbb{E}[Y^2]-mathbb{E}^2[X]mathbb{E}^2[Y]}$

...i momenti secondi delle due variabili li conosci....problema risolto (il resto è più o meno tutto sulla stessa falsariga)

Nota bene: quando hai a che fare con distribuzioni esponenziali / Gamma è opportuno specificare sempre la densità di probabilità perché tali leggi hanno diverse parametrizzazioni. Qui la parametrizzazione corretta l'ho desunta dalla tua bozza di soluzione..

Grazie mille, ho capito tutto
L'unico problema è che non ho una formula per il momento secondo dell'esponenziale, devo risolvermi necessariamente l'integrale?

ma dai caXXo!!!!

$Var[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

ora, con uno sprazzo di lucidità algebrica, sposto $-mathbb{E}^2[X]$ al primo membro e subito trovo

$mathbb{E}[X^2]=Var[X]+mathbb{E}^2[X]$