Probabilità per Normale

[tatoalo]

Ciao Ragazzi,

Ho un dubbio in questo esercizio nel quale non capisco dove/se sbaglio, il quesito è il seguente:
Data $X$ variabile aleatoria Normale di valore atteso $mu$ e deviazione standard $sigma$ fissando $n=47$ ed $sigma=2.5$ calcolare la probabilità:

$P(|T-mu|<0.5)$ con $T=$media campionaria

Io ho diviso a sx e dx per la dev.std. campionaria e sono arrivato a dire $2*Phi((0.5*sqrt(47))/2.5) -1 ~~ 0.82$

Ho trovato una soluzione (ma non so con quanta confidenza trattarla) che arrivava a dire $~~0.46$, qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie!

[tommik]

corretto. Viene circa $0.82967$

[tatoalo]

Grazie, quindi mi confermi che la soluzione che ho trovato che usa la "legge debole dei grandi numeri" usando
$P(|T-mu|<0.5) >= 1- (Var(x))/(mu*(0.5)^2$ è la via sbagliata?

[tommik]

Confermo. Oltretutto la formula che hai scritto sulla legge debole è errata. la formula corretta è $>=1-(Var(x))/(n* 0.5^2)$


Però la cosa ha un riflesso interessante. Non ha alcun senso utilizzare la legge dei grandi numeri se si conosce la distribuzione della popolazione. Quella formula ha senso solo quando non si sa nulla della legge secondo cui la variabile è distribuitama se ne consosce solo media e varianza.

Infine....chi ha usato quella formula potrebbe dire "guarda che non ho sbagliato, ho detto che il valore della probabilità cercata è maggiore di 0.47...a te viene 0.83 quindi non ho detto una fesseria"

saluti

[tatoalo]

Sisi scusami, è stata una typo, al denominatore è giusto come dici tu $n*epsi^2$.

Perfetto, grazie mille anche per il chiarimento su quando ha effettivamente senso utilizzarla

[tommik]

Più ci penso e più la cosa si fa interessante...e più appare senza senso la soluzione che ti hanno proposto...

Stai cercando di calcolare la probabilità chela media campionaria cada in un determinato intervallo...che, per $n=47$ si può sempre approssimare con una gaussiana, appunto per il teorema del limite centrale...quindi ANCHE SE NON SAPESSI CHE LA DISTRIBUZIONE E' NORMALE, sarebbe "normale" utilizzare la gaussiana per avere quella probabilità....sei d'accordo?

E comunque anche tu hai sbagliato a riportare il risultato qui

Ho trovato una soluzione (ma non so con quanta confidenza trattarla) che arrivava a dire $~~0.46$, qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie!

Perché il risultato a cui arrivano è che la probabilità sia $>=0.46$ e non circa $0.46$

[tatoalo]

ANCHE SE NON SAPESSI CHE LA DISTRIBUZIONE E' NORMALE, sarebbe "normale" utilizzare la gaussiana per avere quella probabilità....sei d'accordo?

Si sono d'accordo, è per quello che sono andato dritto come un treno, ci sarei andato ugualmente anche se non mi avesse indicato lui esplicitamente la variabile come una normale in quanto le condizioni per il teorema del limite centrale ci sono, anche perchè, almeno secondo il mio libro di testo, per $n>30$ sono a posto (in realtà ha mostrato anche qualche esempio dove anche $n>10$ era una condizione sufficiente).

E comunque anche tu hai sbagliato a riportare il risultato qui

Si, hai ragione, altro errore mio.