Esercizio variabile aleatoria esponenziale

Messaggioda Elia1999 » 04/06/2019, 18:32

Salve, avrei dei dubbi su questo esercizio :

Per i treni frecciarossa il tempo di ritardo, calcolato in minuti, è una variabile aleatoria \(\displaystyle T\sim exp( \frac {1} {5}) \)

a) Calcolare la probabilità che un treno ritardi più di 10 minuti e il suo ritardo medio.

b)Ogni volta che un frecciarossa arriva con un ritardo maggiore di 10 minuti l'azienda perde 1000 euro di costi fissi. Ogni giorno circolano 90 treni, che subiscono ritardi in maniera indipendente l'uno dall'altro. Calcolare la probabilità che l'azienda perda più di 20000 euro in una singola giornata.

Per il primo punto ho fatto nel seguente modo :

\(\displaystyle P(T>10)=1-P(T\leq 10)\)\(\displaystyle =1- \int_{0}^{10} \frac {1} {5} e^{- \frac {1} {5} t}\, dt \)\(\displaystyle =e^{-2} \)

Scusate se non metto tutti i passaggi e che sarebbe un procedimento troppo lungo, comunque il calcolo dovrebbe essere giusto visto che è stato fatto diverse volte.
Per il secondo punto non saprei come procedere o meglio, ho provato impostando una bernulliana \(\displaystyle X \) che indicava il numero di soldi persi per ogni treno, dove era uguale a \(\displaystyle 1000 \) con probabilità \(\displaystyle e^{-2} \) ed era uguale a \(\displaystyle 0 \) con probabilità \(\displaystyle 1-e^{-2} \). Siccome i treni sono in totale 90, affinché ci sia una perdita di almeno \(\displaystyle 20000 \) euro è necessario che almeno 20 treni facciano ritardo, quindi ho scritto :

\(\displaystyle P(X>20000)=1-P(X \leq 20000)=1-[P(T>10)*20] \)

Il problema è che è una probabilità sbagliata siccome è maggiore di uno. Quindi volevo chiedervi quale è il giusto procedimento.
Elia1999
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Re: Esercizio variabile aleatoria esponenziale

Messaggioda tommik » 04/06/2019, 21:14

Per il punto 1 non serve alcun integrale. Sapendo che $F(x)=1-e^(-x/5)$ la probabilità richiesta è

$1-F(10)=e^(-10/5)=e^(-2)$

Per il secondo punto sai che su 90 treni almeno 21 devono arrivare in ritardo (20 non bastano per perdere più di 20k €).

La variabile è dunque una Binomiale di parametri $ "Bin"(90,e^(-2))$

Per risolvere in modo esatto serve un calcolatore. Si risolve in modo approssimato con una gaussiana usando il TLC.... occhio che per avere una buona approssimazione devi usare il fattore di correzione

Osservazione.

Ti invito a riflettere su ciò che hai scritto:

$P(T>10)*20$

Come fai a pensare che questa possa essere una probabilità? Se un evento deve verificarsi 20 volte (è comunque errato perché devi considerare 20 volte su quanti tentativi...) farai $P(T>10)^20$ no?

Quindi farai

$sum_(x=21)^(90)((90),(x))(e^(-2))^x(1-e^(-2))^(90-x)=1-sum_(x=0)^(20)((90),(x))(e^(-2))^x(1-e^(-2))^(90-x)$

Entrambe le formule sono improponibili da calcolare manualmente....quindi approssimi con De Moivre - Laplace, come detto in precedenza

attento anche agli estremi di somma..ti chiede bla bla affinché la perdita sia Superiore a 20k....poi ragioni come se la perdita fosse superiore o uguale a 20k

....sono piccole cose ma ti possono precludere il passaggio ad un esame, secondo me
tommik
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