Salve, avrei dei dubbi su questo esercizio :
Per i treni frecciarossa il tempo di ritardo, calcolato in minuti, è una variabile aleatoria \(\displaystyle T\sim exp( \frac {1} {5}) \)
a) Calcolare la probabilità che un treno ritardi più di 10 minuti e il suo ritardo medio.
b)Ogni volta che un frecciarossa arriva con un ritardo maggiore di 10 minuti l'azienda perde 1000 euro di costi fissi. Ogni giorno circolano 90 treni, che subiscono ritardi in maniera indipendente l'uno dall'altro. Calcolare la probabilità che l'azienda perda più di 20000 euro in una singola giornata.
Per il primo punto ho fatto nel seguente modo :
\(\displaystyle P(T>10)=1-P(T\leq 10)\)\(\displaystyle =1- \int_{0}^{10} \frac {1} {5} e^{- \frac {1} {5} t}\, dt \)\(\displaystyle =e^{-2} \)
Scusate se non metto tutti i passaggi e che sarebbe un procedimento troppo lungo, comunque il calcolo dovrebbe essere giusto visto che è stato fatto diverse volte.
Per il secondo punto non saprei come procedere o meglio, ho provato impostando una bernulliana \(\displaystyle X \) che indicava il numero di soldi persi per ogni treno, dove era uguale a \(\displaystyle 1000 \) con probabilità \(\displaystyle e^{-2} \) ed era uguale a \(\displaystyle 0 \) con probabilità \(\displaystyle 1-e^{-2} \). Siccome i treni sono in totale 90, affinché ci sia una perdita di almeno \(\displaystyle 20000 \) euro è necessario che almeno 20 treni facciano ritardo, quindi ho scritto :
\(\displaystyle P(X>20000)=1-P(X \leq 20000)=1-[P(T>10)*20] \)
Il problema è che è una probabilità sbagliata siccome è maggiore di uno. Quindi volevo chiedervi quale è il giusto procedimento.