Esercizio tempo di funzionamento

[lordstark90]

Buongiorno.
Sono di nuovo incastrato con un esercizio. Ringrazio chiunque possa aiutarmi. Il testo è il seguente:

Il tempo di funzionamento di un dispositivo è rappresentato dalla variabile aleatoria $X$ avente densità di probabilità (in centinaia di ore) pari a:

$f_x(x) = {(3/4(-x^2+2x), 0<=x<=2),(0, text{altrove}):}$

Detto $Y$ il tempo di funzionamento dei dispositivi che hanno già funzionato per almeno 100 ore (quindi x=1 in centinaia di ore), determinare la densità di probabilità di $Y$.

Non capisco che metodo utilizzare per la risoluzione: se andare a indagare la memoria della variabile X,facendo una cosa tipo $F_y=P(X>1+t|X>t)$ o se bisogna fare un cambio di variabile imponendo $Y=X+1$ o se sono sbagliati entrambi gli approcci

Probabilmente la soluzione è semplice e continuo a farmi troppi problemi. Ringrazio chiunque abbia voglia e tempo di aiutarmi con la soluzione.

[tommik]

Cià dimostriamolo va...tanto sono due passaggini in croce

Il problema è calcolare la seguente funzione di ripartizione

$F(X|X>1)=(mathbb{P}[X<=x nn X>1])/(mathbb{P}[X>1])=(mathbb{P}[1<X<=x])/(mathbb{P}[X>1])=(F(x)-F(1))/(1-F(1))$

per avere subito la densità deriviamo ottenendo

$f(x|x>1)=(f(x))/(1-F(1))$ per $1<x<=2$....zero altrove

in poche parole è la stessa densità ma rapportata ai casi possibili, cioè quelli con una vita residua al massimo di 100 ore

[lordstark90]

Ah ok perfetto quindi in pratica Y non andava considerata come una nuova variabile ma in pratica è la stessa X modificata condizionata al fatto di avere $X>1$. Grazie mille!

Se invece volessi come variabile il tempo di funzionamento rimanente dei dispositivi che hanno raggiunto le 100 ore, il procedimento è simile ma fatto sulla nuova variabile Y?

[tommik]

si ma è tutta la stessa manfrina....leggi bene cosa ho scritto e dimostrati caso per caso no??


$S(X|X>1)=...=(1-F(x))/(1-F(1))$

S significa Survival Function...che come vedi vale 1 quando $x rarr 1^+$ e va a zero quando $x=2$

EDIT: anzi ancora più banalmente basta fare

$S(X|X>1)=1-F(X|X>1)=(1-F(1)-F(x)+F(1))/(1-F(1))=(1-F(x))/(1-F(1))$

[lordstark90]

Ok grazie mille! Si avevo visto l'argomento per quanto riguarda le variabile esponenziali prive di memoria e avevo un piccolo esempio su cosa succedeva nel caso di memoria (come in questo), ma ho sempre paura di usare dei ragionamenti sbagliati. Grazie mille per i chiarimenti e le dimostrazioni!