Integrale - probabilità

da **luca.barletta** » 28/06/2007, 13:29

Sia $f(y)$ la densità di una v.a. $y$ con media $m_y$ e varianza $sigma_y^2$, e $ccN(y)$ la densità gaussiana con stessi valor medio e varianza; calcolare
$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy$

da **Tipper** » 28/06/2007, 13:39

Perdona la mia ignoranza, ma non riesco a capire l'$y$ al pedice dell'integrale...

da **nicola de rosa** » 28/06/2007, 13:39

luca.barletta ha scritto:Sia $f(y)$ la densità di una v.a. $y$ con media $m_y$ e varianza $sigma_y^2$, e $ccN(y)$ la densità gaussiana con stessi valor medio e varianza; calcolare
$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy$

$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy=-int_y f(y)*log_a(ccN(y))dy$

$(ccN(y))=1/(sigma_ysqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_y^2)(y-m_y)^2)$ per cui

$log_a(ccN(y))=log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+(-1/(2sigma_y^2)(y-m_y)^2)log_a(e)$

Quindi

$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy=-int_y f(y)*log_a(ccN(y))dy=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))int_y f(y)dy+(log_a(e))/(2sigma_y^2)int_y(y-m_y)^2f_Y(y)dy$=
$=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+(log_a(e))/(2sigma_y^2)*sigma_y^2=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+1/2log_a(e)=log_a(sigma_ysqrt(2pi*e))$

spero di non aver perso qualcosa per strada