Distribuzione interessante

[Piera]

Sia F(x) la funzione di ripartizione della variabile casuale X di Cantor: http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_ ... _di_Cantor
Dimostrare che $W=F(X)$ ha distribuzione uniforme (0,1).

[Kroldar]

Cos'è la funzione di ripartizione? La CDF per caso?

[nicola de rosa]

Cos'è la funzione di ripartizione? La CDF per caso?

sì

[Kroldar]

Sia F(x) la funzione di ripartizione della variabile casuale X di Cantor: http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_ ... _di_Cantor
Dimostrare che $W=F(X)$ ha distribuzione uniforme (0,1).

Eppure lo trovo sorprendente! La CDF della variabile aleatoria in questione è la funzione di Cantor, dunque. Si chiede di dimostrare che la pdf è costante in $(0,1)$. Se tentiamo di costruire la funzione di Cantor come limite di una successione e ci fermiamo a un passo ben determinato, allora la pdf è sicuramente uniforme nell'insieme di Cantor. Passando però al limite e ottenendo la funzione di Cantor vera e propria, si ha che quest'ultima ha derivata nulla quasi ovunque. Ora, siccome la pdf è la derivata della CDF, si avrebbe una pdf nulla quasi ovunque, che tra l'altro non è una valida pdf perché non soddisfa l'assioma di normalizzazione. Uhm...
Gran bel quesito cmq!

[Piera]

Ti dirò di più Kroldar.
Sia X una v.a. continua con funzione di ripartizione F(x), allora F(X) è uniforme (0,1).
Il fatto che abbia considerato la distribuzione di Cantor è trascurabile ai fini dell'esercizio, conviene quindi ragionare in generale.

[Kroldar]

Ti dirò di più Kroldar.
Sia X una v.a. continua con funzione di ripartizione F(x), allora F(X) è uniforme (0,1).
Il fatto che abbia considerato la distribuzione di Cantor è trascurabile ai fini dell'esercizio, conviene quindi ragionare in generale.

No scusami, allora mi sa che non ho ben capito l'esercizio
Io ho capito questo:
si deve considerare una v.a. la cui CDF è la funzione di Cantor e si vuole dimostrare che la pdf di tale v.a. sia costante (e valga $1$) nell'intervallo $(0,1)$.

[Kroldar]

Ok capito il problema. Avevo fatto confusione tra $x$ e $X$.

[Piera]

Cerco di chiarire la cosa con un esempio.
Prendi una variabile X esponenziale di parametro a.
Si può essere interessati a determinare la distribuzione della variabile g(X).
Ad esempio g(x)= ln x.
Nell'esercizio ho considerato g(x)=F(x)
dove F(x) è la funzione che associa ad ogni x la P(X<x) che nel caso di distribuzione esponenziale è
$F(x)=P(X<x)=1-e^(-ax)$ $x>=0$.
E' facile vedere che la distribuzione di $1-e^(-aX)$ è uniforme (0,1).

[Kroldar]

Credo che la confusione sia nata da una mia abitudine a una certa simbologia.
In ogni caso, a proposito del problema più generale da te proposto, ho provato a ricorrere al teorema fondamentale sulle trasformazioni di v.a.
Presa una v.a. continua generica $X$, vogliamo dimostrare che la pdf della variabile aleatoria $F(X)$ (dove $F(.)$ è la funzione di Cantor) è costante e vale $1$ nell'intervallo $(0,1)$ e vale altresì costantemente $0$ altrove.
Detta $Y=F(X)$, per valori di $y$ minori di $0$ o maggiori di $1$, l'equazione $y=F(x)$ non ha soluzione, quindi la pdf di $Y$ è sicuramente nulla per $y<0$ e $y>1$.
Ora bisogna dimostrare che per $0<y<1$ tale pdf vale $1$. Questo credo sia il vero problema.
Potresti confermarmi quanto detto finora e magari darmi un suggerimento per continuare?

[Piera]

Confermo.
Assumere, per semplicità, F strettamente crescente,
quindi invertire...
Soluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ricordiamo che per definizione $P(X<=x)=F(x)$.
Se F è strettamente crescente e quindi invertibile si ha
$P(W<=t)=P(F(X)<=t)=P(X<=F^(-1)(t))=F(F^(-1)(t))=t$ per $0<t<1$.
La distribuzione è uniforme (0,1).
Se F non è strettamente crescente, ad esempio è fatta a gradini come la funzione di Cantor, $F^(-1)(t)$ non è unico, ma si può scegliere uno qualunque di tali valori e il risultato non cambia.