Densità congiunta uniforme
Inviato: 06/06/2019, 12:52
Siano $X$ e $Y$ due VAAC, e sia $f_(X,Y )(x, y)$ la densità del vettore aleatorio $(X, Y )$. In particolare si assuma che la densità $f_(X,Y )$ sia uniforme sull’insieme $D := {(x, y) ∈ R^2: x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1] , x −1/2≤ y ≤ x ∪ y ≥ x +1/2}$
(i) si calcoli la densità $f_(X,Y )(x, y)$, $(x, y) ∈ R^2$ e sia dia una rappresentazione grafica di $D$;
(ii) si calcolino le densità marginali di $X$ e $Y$ ;
(iii) $X$ e $Y$ sono indipendenti?
(iv) si calcoli $mathbb(P)(X ≥ Y )$.
Rieccoci con un altro esercizietto, molto standard, eccetto il punto 1 che non riesco a capire, in particolare con capisco cosa si intende che la densità $f_(XY)$ sia uniforme su D. Vuol dire che $f$ è costante?
Inanzitutto io ho dato una rappresentazione grafica di D che è la seguente nello spoiler, corrispondente all'area verde.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ho Riscritto D tenendo una var libera e una dipendente
$D=A1+A2$
$A1={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,x+1/2<=y<=1};$
$A2={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,0<=y<=x,1/2<=x<=1,x-1/2<=y<=z}$
adesso se il testo mi dice che la densità congiunta sia uniforme, vuol dire che la congiunta è C? quindi sommo gli integrali sul dominio ponendo $intint_(A_1+A_2) f_(XY)(x,y) dxdy =1$ con $f(X,Y) =c$
un altro dubbio che però riguarda forse analisi 2, quando mi ricavo un dominio di questa forma, una variabile libera e l'altra indipendente quale dovrebbe essere l'ordine di integrazione?