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Densità congiunta uniforme

MessaggioInviato: 06/06/2019, 13:52
da WhiteSte
Siano $X$ e $Y$ due VAAC, e sia $f_(X,Y )(x, y)$ la densità del vettore aleatorio $(X, Y )$. In particolare si assuma che la densità $f_(X,Y )$ sia uniforme sull’insieme $D := {(x, y) ∈ R^2: x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1] , x −1/2≤ y ≤ x ∪ y ≥ x +1/2}$
(i) si calcoli la densità $f_(X,Y )(x, y)$, $(x, y) ∈ R^2$ e sia dia una rappresentazione grafica di $D$;
(ii) si calcolino le densità marginali di $X$ e $Y$ ;
(iii) $X$ e $Y$ sono indipendenti?
(iv) si calcoli $mathbb(P)(X ≥ Y )$.

Rieccoci con un altro esercizietto, molto standard, eccetto il punto 1 che non riesco a capire, in particolare con capisco cosa si intende che la densità $f_(XY)$ sia uniforme su D. Vuol dire che $f$ è costante?

Inanzitutto io ho dato una rappresentazione grafica di D che è la seguente nello spoiler, corrispondente all'area verde.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


ho Riscritto D tenendo una var libera e una dipendente
$D=A1+A2$
$A1={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,x+1/2<=y<=1};$
$A2={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,0<=y<=x,1/2<=x<=1,x-1/2<=y<=z}$

adesso se il testo mi dice che la densità congiunta sia uniforme, vuol dire che la congiunta è C? quindi sommo gli integrali sul dominio ponendo $intint_(A_1+A_2) f_(XY)(x,y) dxdy =1$ con $f(X,Y) =c$

un altro dubbio che però riguarda forse analisi 2, quando mi ricavo un dominio di questa forma, una variabile libera e l'altra indipendente quale dovrebbe essere l'ordine di integrazione?

Re: Densità congiunta uniforme

MessaggioInviato: 06/06/2019, 15:33
da tommik
Immagine

il dominio $mathcal(D)$ è l'area colorata

L'area è ovviamente $1/2$, non servono conti è proprio l'area di mezzo quadrato (i due triangolini in alto a sinistra ed in basso a destra sono uguali).

La densità uniforme è il reciproco dell'area, non servono integrali complicati:

$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;" se "(x,y) in mathcal(D) ),( 0 , ;" Altrove" ) :}$



Le variabili sono indipendenti? No, per essere indipendenti condizione necessaria è che il dominio sia un rettangolo

Quali sono le marginali? integri la congiunta rispetto all'altra variabile e vedi che le due marginali sono entrambe uniformi su zero uno

$f_X(x)=mathbb{1}_([0;1])(x)$

$f_Y(y)=mathbb{1}_([0;1])(y)$

Qual è la probabiltà che $X>Y$?

La zona $X>Y$ è l'area sotto la bisettrice quindi tale probabilità è $"Area "xx" densità"=3/8*2=3/4$


Ora prova a fare i conti che non ho postato (per il calcolo delle marginali) se hai problemi posta...

Re: Densità congiunta uniforme

MessaggioInviato: 07/06/2019, 12:58
da WhiteSte
Si, continuo ad avere qualche problema con le marginali. Per come ho scritto il dominio, per trovare $f_X$ faccio
$int_(x+1/2)^1 2dy + int_(x-1/2)^x 2 dy + int_0^x 2 dy = 2 *1_([0;1])(x)$

Re: Densità congiunta uniforme

MessaggioInviato: 07/06/2019, 13:12
da tommik
Gli integrali sono giusti ma non li puoi sommare così... non hanno tutti lo stesso dominio al variare di x...puoi sommare fra loro solo quelli definiti sullo stesso supporto di X

Quindi la $f(x)$ viene così:


$f_X(x)=[int_(0)^(x) 2dy+int_(x+1/2)^(1)2dy]mathbb{1}_([0;0.5))(x)+[int_(x-1/2)^(x) 2dy]mathbb{1}_([0.5;1])(x)=mathbb{1}_([0;0.5))(x)+mathbb{1}_([0.5;1])(x)=mathbb{1}_([0;1])(x)$

stessa cosa per l'altra.

Re: Densità congiunta uniforme

MessaggioInviato: 07/06/2019, 13:42
da WhiteSte
perfetto tutto chiaro grazie come al solito