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Buonasera,
ho alcune difficoltà per l'impostazione di questo esercizio.

Alla sua rottura, un componente non soggetto ad usura viene sostituito da un componente identico, con un tempo di rottura indipendente. Se il tempo medio di rottura di ciascuno dei due componenti è di mezz'ora, la probabilità che dopo un'ora sia stata effettuata al più una sostituzione è: $ 3/e^2 $

Io ho ragionato in questo modo (probabilmente sbagliato).
Considerando che il tempo di vita di un componente non soggetto ad usura segue una distribuzione esponenziale, in questo caso di parametro $ lambda = 1/30 $ , calcolo la probabilità che il componente si rompa entro 60 minuti.

$ P(X<60 min) = 1- 1/e^2 $

Dovrei calcolare, però, la probabilità che si rompa esattamente un componente.
Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi.

Easy....

$X~Exp(2)="Gamma"(1;2)$

$Y~Exp(2)="Gamma"(1;2)$

$X,Y$ indipendenti

$Z=X+Y~"Gamma"(2;2)$

$f_Z(z)=4ze^(-2z)$

$mathbb {P}[Z>1]=int_1^(+oo)4z e^(-2z)dz=...=3e^(-2)$



Esistono sicuramente anche altri vie risolutive ma questa mi sembra la più intelligente. Che proprietà ho applicato?

Grazie mille e scusa l'insistenza ma non riesco a capire cosa stiano a rappresentare le variabili X ed Y.
I passaggi matematici sono molto chiari, trovo però difficoltà nel seguire il ragionamento.

Testo originale:

Alla sua rottura, un componente non soggetto ad usura viene sostituito da un componente identico, con un tempo di rottura indipendente. Se il tempo medio di rottura di ciascuno dei due componenti è di mezz'ora, la probabilità che dopo un'ora sia stata effettuata al più una sostituzione è: $ 3/e^2 $

Traduzione

Un sistema è formato da due componenti collegati in ausiliario . Sapendo che la durata dei due componenti è descritta da due va i.i.d. esponenziali di media $1/2$, calcolare la probabilità che il sistema sia ancora in funzione dopo un tempo $t=1$ di funzionamento

Così è più chiaro?

Se ancora ci fossero dubbi puoi leggere qui, ESEMPIO 4.8, PAG 115 e seguenti.

Grazie, ora tutto molto chiaro!
Non riuscivo a capire perchè le due variabili avessero media 1/2 ma penso di aver capito che si tratta di una semplificazione dei calcoli (mezz'ora è 1/2 di un'ora).
Grazie ancora!