Integrale stocastico e momento secondo di un moto browniano standard

[FINASSH501]

Buonasera, in questo esercizio mi viene chiesto di trovare la dinamica del quadrato di un moto browniano standard e successivamente il relativo momento secondo.

$W={W_t,t>=0} $ è la collezione di v.a che descrive il moto browniano.

Cerco la dinamica $ df(W_t,t)=d(W_t^2) $.
Applico il lemma di ito che per i moti browniani risulta essere:
$ df(W_t,t)=((\partialf)/(\partialt)+ 1/2(\partialf^2)/(\partialW^2))dt+(\partialf)/(\partialW)dW_t $

E ottengo:
$ d(W_t^2)= dt + 2W_t dW_t $

Passando alla forma integrale
$ W_t^2=W_0^2 + \int_0^td_s + 2\int_0^tW_sdW_s $

Ora il termine $W_0^2=0$ per le proprietà del moto browniano, il secondo integrale è integrabile secondo Riemann ed è uguale a $t$, l'integrale stocastico non lo so gestire. Dalla teoria so che il risultato del momento secondo dovrebbe essere
$E[W_t^2]=t$
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.