tempi di attesa
Inviato: 07/06/2019, 18:24
ecco qua un altro esercizio banale, dovrebbe essere l'ultimo di quelli che posto
Come ho impostato il problema:
$A:=min(X,Y)$
$B:=Z$
$X,Y,Z-Exp(0,1) , lamda>0 $ indipendenti
(i) Mi chiede $mathbb(P)(A>B)$
$mathbb(P)(A>B)=mathbb(P)(min(X,Y)>Z)=mathbb(P)(X>Z,Y>Z)=_(indipendenza) mathbb(P)(X>Z)mathbb(P)(Y>Z)=$
$ = (1-F_X(z))(1-F_Y(z)) = e^(-2lamdaz)$ fatto
ii) $X,Y,Z-U(0,1) ->$ ripeto gli stessi passaggi $mathbb(P)(A>B) = 1-z^2$
si può notare che la prima probabilità è sempre maggiore della seconda essendo $exp>>pol$
analiticamente $e^(-2zlambda)>1-z^2 -> ln(1)/ln(z^2)>e^(-2zlambda) -->_(lambdaz>0 ) AA z$
iii) Qua lo scoglio
imposto $f(t) = f (t) 1_([0;b)) (t)$
trovo la f.r. come $F(t) = int_0^b f(s) 1_([0;b))(t) ds = [F(b)- F(0)]1_([0;b))(t)$
essendo f def. positiva, $F(0)=0$ quindi $F(t) = F(b)1_([0;b))(t)$
ma sento di essere sulla strada sbagliata...
Un componente $A$ è formato da due elementi in serie e quindi funziona fintanto
che sono funzionanti entrambi gli elementi che lo compongono. Un secondo componente $B$ è invece
formato da un solo elemento.
(i) si supponga che i tre componenti abbiano tempi di vita esponenziali di parametro $λ > 0$
indipendenti. Qual è la probabilità che il componente $A$ duri più a lungo del componente $B$?
(ii) si supponga che i tre componenti abbiano tempi di vita indipendenti di legge $-U[0, 1]$. Qual è la probabilità che il componente $A$ duri più a lungo del componente B? É maggiore o minore della probabilità calcolata al punto (i)?
(iii) si supponga che i tre componenti abbiano tempi di vita indipendenti con la stessa densità $f$.
Si supponga che $f$ sia continua e definita positiva in $[0, b) $con$ b ∈ (0, ∞]$ e nulla in $R \ [0, b)$.
Qual è la probabilità che il componente$ A$ duri più a lungo del componente $ B$?
Come ho impostato il problema:
$A:=min(X,Y)$
$B:=Z$
$X,Y,Z-Exp(0,1) , lamda>0 $ indipendenti
(i) Mi chiede $mathbb(P)(A>B)$
$mathbb(P)(A>B)=mathbb(P)(min(X,Y)>Z)=mathbb(P)(X>Z,Y>Z)=_(indipendenza) mathbb(P)(X>Z)mathbb(P)(Y>Z)=$
$ = (1-F_X(z))(1-F_Y(z)) = e^(-2lamdaz)$ fatto
ii) $X,Y,Z-U(0,1) ->$ ripeto gli stessi passaggi $mathbb(P)(A>B) = 1-z^2$
si può notare che la prima probabilità è sempre maggiore della seconda essendo $exp>>pol$
analiticamente $e^(-2zlambda)>1-z^2 -> ln(1)/ln(z^2)>e^(-2zlambda) -->_(lambdaz>0 ) AA z$
iii) Qua lo scoglio
imposto $f(t) = f (t) 1_([0;b)) (t)$
trovo la f.r. come $F(t) = int_0^b f(s) 1_([0;b))(t) ds = [F(b)- F(0)]1_([0;b))(t)$
essendo f def. positiva, $F(0)=0$ quindi $F(t) = F(b)1_([0;b))(t)$
ma sento di essere sulla strada sbagliata...