Esercizio probabilità congiunta
Inviato: 10/06/2019, 10:39
Buongiorno,
Ho provato a risolvere un esercizio sulla funzione di probabilità congiunta. Riporto il testo e i miei passaggi. Potreste dirmi se è giusto o se (molto probabile ) ho fatto qualche errore. Grazie!
TESTO
Sia $f_(xy)(x,y)=4xy*e^(-(x^2+y^2))$ per $x>=0, y>=0$ (0 altrove), la funzione congiunta di probabilità di due variabili $X$ e $Y$.
Calcolare:
1) la densità di probabilità di $X^2$
2) la densità di probabilità di $Z=sqrt(X^2+Y^2)$
SOLUZIONE
1) Dopo aver ricavato le densità di probabilità $f_x(x)$ e $f_y(y)$ e verificato che sono indipendenti ho effettuato una trasformazione di variabile:
$f_x(x)=2x*e^(-x^2)$ per $x>=0$ (0 altrove)
$W=X^2$
$f(x)=g(y(x))*|y'(x)|$
da cui si ricava $g_w(w)=e^(-w)$ per $w>=0$ (0 altrove)
2) Poichè ho difficoltà a fare ragionamenti di tipo geometrico, ho effettuato anche qui una trasformazione passando alle variabili X e Y alle variabili:
${(Z=sqrt(X^2+Y^2)),(W=X^2):}$
Quindi facendo la trasformazione $f(x,y)=g(z,w)*|DET(J)|$ si ottiene:
$g_z(z)=2z*e^(-z^2)$ per $z>=0$ (0 altrove)
Ho provato a risolvere un esercizio sulla funzione di probabilità congiunta. Riporto il testo e i miei passaggi. Potreste dirmi se è giusto o se (molto probabile ) ho fatto qualche errore. Grazie!
TESTO
Sia $f_(xy)(x,y)=4xy*e^(-(x^2+y^2))$ per $x>=0, y>=0$ (0 altrove), la funzione congiunta di probabilità di due variabili $X$ e $Y$.
Calcolare:
1) la densità di probabilità di $X^2$
2) la densità di probabilità di $Z=sqrt(X^2+Y^2)$
SOLUZIONE
1) Dopo aver ricavato le densità di probabilità $f_x(x)$ e $f_y(y)$ e verificato che sono indipendenti ho effettuato una trasformazione di variabile:
$f_x(x)=2x*e^(-x^2)$ per $x>=0$ (0 altrove)
$W=X^2$
$f(x)=g(y(x))*|y'(x)|$
da cui si ricava $g_w(w)=e^(-w)$ per $w>=0$ (0 altrove)
2) Poichè ho difficoltà a fare ragionamenti di tipo geometrico, ho effettuato anche qui una trasformazione passando alle variabili X e Y alle variabili:
${(Z=sqrt(X^2+Y^2)),(W=X^2):}$
Quindi facendo la trasformazione $f(x,y)=g(z,w)*|DET(J)|$ si ottiene:
$g_z(z)=2z*e^(-z^2)$ per $z>=0$ (0 altrove)