approssimazione a normale(0,1)

Sia $X$ una v.a. esponenziale di parametro $\lambda = 2$. a) Trova media e
varianza di $X$. b) Siano $X_1$, ...,$X_150$ $150$ v.a. indipendenti e identicamente
distribuite, $X_i ∼ exp(2)$. Poni $ S = X_1 + ... + X_150$. Calcola approssimativa-
mente $P(S < 130)$.

media = $1/2$
varianza = $1/4$
Ho dei dubbi sul punto b), qualcuno riesce ad aiutarmi?

Ho dei dubbi sul punto b), qualcuno riesce ad aiutarmi?

certo che possiamo aiutarti, sapendo quali siano i dubbi....

a me vengono in mente ameno due strade diverse per raggiungere il risultato.

PS:

$mathbb{P}[S<130]~~0.999999999999996$

è meglio scegliere un altro valore, direi compreso fra 60 e 90, così trovi dei valori di probabilità calcolabili che abbiano un senso

Si infatti con 85 il tutto risulta fattibile, grazie mille

Giusto per concludere il discorso in modo che il topic possa essere utile anche ad altri...con i dati del problema proviamo a calcolare

$mathbb{P}[S<85]$

partendo dal fatto che le $X_i$ sono tutte $Exp(2)$ iid, la probabilità proposta può essere calcolata anche in modo esatto. Infatti è noto che

$S=sum_(i=1)^(150)X_i~"Gamma"(150;2)$

$4S~"Gamma"(300/2;1/2)=chi_((300))^2$

e quindi è evidente che

$mathbb{P}[S<85]=mathbb{P}[chi_((300))^2<340]=0.944$

Il valore esatto può essere calcolato perché la chi quadro è tabulata ormai dovunque (l'ho fatto con excel)

Volendo approssimare il valore si può usare il Teorema del limite centrale che conduce a trovare

$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.63)=0.948$

ma è anche noto che, per $"gdl"=m>=30$

$sqrt(2u)-sqrt(2m-1)=z$

e quindi


$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.6)=0.945$

che conduce ad una approssimazione migliore del TLC