Variabili discrete e Teorema centrale del limite

Messaggioda Naraku93 » 11/06/2019, 21:32

Ho un dubbio su questo esercizio:
Consideriamo 100 variabili aleatorie X1, . . . , X100 indipendenti e uniformi e possono assumere valori {-2,-1,0,1,2,3,4}.
Determinare $P(X1 + · · · + X100 > 102)$;
Determinare $P(X1 + · · · + X100 > 102|X1 ^2 = 4)$;

Allora calcolo media e varianza delle variabili Xi, che sono rispettivamente 1 e 4.
A questo punto con il TCL trovo che la probabilità del punto a) è di circa 0.46
Per il punto B invece dovrei dividere $(P(X1 + · · · + X100 > 102))/(P(X1 ^2 = 4))$
Il problema è che la probabilità che $X1^2$ sia 4 è 2/7, pertanto il calcolo precedente ha valore > 1 , il che mi sembra improbabile..
Dov'è il mio errore?
Naraku93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 22 di 25
Iscritto il: 14/07/2018, 22:27

Re: Variabili discrete e Teorema centrale del limite

Messaggioda tommik » 12/06/2019, 01:39

Sapendo che $X_1=+-2$ in modo equiprobabile, la probabilità condizionata richiesta sarà

$1/2{mathbb{P}[sum_(i=2)^(100)X_i>104]+mathbb{P}[sum_(i=2)^(100)X_i>100]}$

Anche senza fare conti è evidente che tale probabilità non sarà molto diversa dalla probabilità trovata al punto a1

EDIT: ho fatto anche i conti. Premesso che per usare il TLC con una variabile discreta (in questo caso $n=100$ è grande e più che sufficiente per applicare il TLC ma non è enorme...) occorre usare anche un fattore di correzione per continuità, ottengo i seguenti risultati approssimati:

a): $45%$

b) $43%$

$46%$ viene al punto a) senza applicare alcun fattore correttivo

Note

  1. che non ho controllato e quindi prendo per buona
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5677 di 5760
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: Variabili discrete e Teorema centrale del limite

Messaggioda Naraku93 » 12/06/2019, 10:17

Il tuo ragionamento è giusto, tuttavia io vorrei cercare di arrivarci usando la formula della probabilità condizionale:
$P(A|B) = (P(A∩B))/(P(B))$
In questo caso P(A∩B) dovrebbe essere la probabilità trovata al punto a), o al massimo la probabilità che X2...X100 > 100
La probabilità B invece è 2/7, ossia la probabilità che X1 assuma valore +2 o -2, perchè il calcolo mi restituisce una probabilità > 1?
Ultima modifica di tommik il 12/06/2019, 10:19, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: eiminata citazione ingombrante
Naraku93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 24 di 25
Iscritto il: 14/07/2018, 22:27

Re: Variabili discrete e Teorema centrale del limite

Messaggioda tommik » 12/06/2019, 10:59

Naraku93 ha scritto:In questo caso P(A∩B) dovrebbe essere la probabilità trovata al punto a), o al massimo la probabilità che X2...X100 > 100


.....in verità nessuna delle due...e la formula che ti ho indicato deriva proprio dalla formula generale che ben conosci....speravo in un po' più di impegno da parte tua ma va beh va...se no qui facciamo notte...

Indico con $S_n$ la somma delle $n$ variabili aleatorie iid uniformi

$mathbb{P}[S_100>102|X_1^2=4]=(mathbb{P}[S_100>102 nn X_1^2=4])/(mathbb{P}[X_1^2=4])=$

$=(mathbb{P}[X_1=-2]mathbb{P}[S_100>102|X_1=-2]+mathbb{P}[X_1=2]mathbb{P}[S_100>102|X_1=2])/(mathbb{P}[X_1=-2]+mathbb{P}[X_1=2])$

$=(mathbb{P}[X_1=-2]mathbb{P}[S_99>104]+mathbb{P}[X_1=2]mathbb{P}[S_99>100])/(mathbb{P}[X_1=-2]+mathbb{P}[X_1=2])=$

$=(1/7mathbb{P}[S_99>104]+1/7mathbb{P}[S_99>100])/(1/7+1/7)=1/2{mathbb{P}[S_99>104]+mathbb{P}[S_99>100]}$

cvd, la probabilità cercata è la media aritmetica fra le due probabilità, ovvero di ottenere più di 104 e più di 100 con le rimanenti variabili di cui non conosciamo il risultato...esattamente come ti ho scritto prima e come deve essere.

saluti
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5679 di 5760
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: Variabili discrete e Teorema centrale del limite

Messaggioda Naraku93 » 12/06/2019, 12:52

Adesso ho capito, in effetti ci avrei messo un pò a capire il procedimento, grazie per avermelo mostrato.
Saluti.
Naraku93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 25 di 25
Iscritto il: 14/07/2018, 22:27


Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 13 ospiti