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Scrittura ricorsiva modello ARMA

12/06/2019, 09:23

Ciao a tutti, posto questo esercizio perchè sono incerto sui risultati ottenuti.
Il problema chiede di calcolare il valore atteso di un particolare modello AR, cioè:
$ y_t = phi_0 + phi_1y_(t-1) +epsi_t $, in cui $ epsi_t ~ N(0, sigma^2) $ e $y_1$ nota.
Quindi ho calcolato:
$ E[y_t] = phi_0 + phi_1E[y_(t-1)] $
Procedendo per sostituzioni successive ottengo:
$t = 1 -> y_1$
$t =2 -> E[y_2] = phi_0 + phi_1*E[y_(2-1)] =phi_0 + phi_1*y_1 $
$t=3 -> E[y_3] = phi_0 + phi_1*E[y_(2)] = phi_0 + phi_1*(phi_0 + phi_1*y_1) = phi_0 + phi_0phi_1 +phi_1^2*y_1 $
$...$
Quindi la formula generale che ho trovato e':
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-2)phi_1^i + phi_1^(t-1)*y_1 $
come controprova ho provato a sostituire $t$ per vedere se la scrittura che ottengo è corretta, quindi usando la formula:
$ E[y_3] = phi_0*sum_(i=0)^(1)phi_1^i + phi_1^2*y_1 = phi_0 + phi_0phi_1+phi_1^2y_1 $
Tuttavia, la soluzione dell'esercizio che viene annotata è:
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-1)phi_1^i + phi_1^(t)*y_1 $
che però, sostituendo t come prima fa risultare che:
$ E[y_3] = phi_0 + phi_0phi_1+phi_0phi_1^2+phi_1^3y_1 $
che non ritengo corretta. Dove sta l'errore? Grazie a chi risponderà.

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

13/06/2019, 08:21

Qualcuno può aiutarmi?

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

16/06/2019, 15:42

Se il procedimento non è chiaro sono disponibilissimo per riscriverlo e chiarire i punti, volevo sapere la vostra per essere sicuro dei passaggi. Grazie a chi risponderà.

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

16/06/2019, 16:22

A me pare che il tuo svolgimento sia giusto.

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

17/06/2019, 08:33

Grazie mille per aver risposto!

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

17/06/2019, 12:13

Per il futuro: metti titoli più pertinenti (e meno inquietanti) se vuoi che qualcuno ti risponda più facilmente. Era solo il calcolo di un valore atteso alla fine, io non avevo neanche aperto perché mi aspettavo cose molto più complesse.

Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

18/06/2019, 13:48

Hai perfettamente ragione, in effetti il titolo inserito non è molto attraente. Farò più attenzione in futuro; grazie ancora.
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