Scrittura ricorsiva modello ARMA

Ciao a tutti, posto questo esercizio perchè sono incerto sui risultati ottenuti.
Il problema chiede di calcolare il valore atteso di un particolare modello AR, cioè:
$ y_t = phi_0 + phi_1y_(t-1) +epsi_t $, in cui $ epsi_t ~ N(0, sigma^2) $ e $y_1$ nota.
Quindi ho calcolato:
$ E[y_t] = phi_0 + phi_1E[y_(t-1)] $
Procedendo per sostituzioni successive ottengo:
$t = 1 -> y_1$
$t =2 -> E[y_2] = phi_0 + phi_1*E[y_(2-1)] =phi_0 + phi_1*y_1 $
$t=3 -> E[y_3] = phi_0 + phi_1*E[y_(2)] = phi_0 + phi_1*(phi_0 + phi_1*y_1) = phi_0 + phi_0phi_1 +phi_1^2*y_1 $
$...$
Quindi la formula generale che ho trovato e':
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-2)phi_1^i + phi_1^(t-1)*y_1 $
come controprova ho provato a sostituire $t$ per vedere se la scrittura che ottengo è corretta, quindi usando la formula:
$ E[y_3] = phi_0*sum_(i=0)^(1)phi_1^i + phi_1^2*y_1 = phi_0 + phi_0phi_1+phi_1^2y_1 $
Tuttavia, la soluzione dell'esercizio che viene annotata è:
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-1)phi_1^i + phi_1^(t)*y_1 $
che però, sostituendo t come prima fa risultare che:
$ E[y_3] = phi_0 + phi_0phi_1+phi_0phi_1^2+phi_1^3y_1 $
che non ritengo corretta. Dove sta l'errore? Grazie a chi risponderà.

Qualcuno può aiutarmi?

Se il procedimento non è chiaro sono disponibilissimo per riscriverlo e chiarire i punti, volevo sapere la vostra per essere sicuro dei passaggi. Grazie a chi risponderà.

A me pare che il tuo svolgimento sia giusto.

Grazie mille per aver risposto!

Per il futuro: metti titoli più pertinenti (e meno inquietanti) se vuoi che qualcuno ti risponda più facilmente. Era solo il calcolo di un valore atteso alla fine, io non avevo neanche aperto perché mi aspettavo cose molto più complesse.

Hai perfettamente ragione, in effetti il titolo inserito non è molto attraente. Farò più attenzione in futuro; grazie ancora.