Scrittura ricorsiva modello ARMA

Messaggioda Walter97lor » 12/06/2019, 09:23

Ciao a tutti, posto questo esercizio perchè sono incerto sui risultati ottenuti.
Il problema chiede di calcolare il valore atteso di un particolare modello AR, cioè:
$ y_t = phi_0 + phi_1y_(t-1) +epsi_t $, in cui $ epsi_t ~ N(0, sigma^2) $ e $y_1$ nota.
Quindi ho calcolato:
$ E[y_t] = phi_0 + phi_1E[y_(t-1)] $
Procedendo per sostituzioni successive ottengo:
$t = 1 -> y_1$
$t =2 -> E[y_2] = phi_0 + phi_1*E[y_(2-1)] =phi_0 + phi_1*y_1 $
$t=3 -> E[y_3] = phi_0 + phi_1*E[y_(2)] = phi_0 + phi_1*(phi_0 + phi_1*y_1) = phi_0 + phi_0phi_1 +phi_1^2*y_1 $
$...$
Quindi la formula generale che ho trovato e':
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-2)phi_1^i + phi_1^(t-1)*y_1 $
come controprova ho provato a sostituire $t$ per vedere se la scrittura che ottengo è corretta, quindi usando la formula:
$ E[y_3] = phi_0*sum_(i=0)^(1)phi_1^i + phi_1^2*y_1 = phi_0 + phi_0phi_1+phi_1^2y_1 $
Tuttavia, la soluzione dell'esercizio che viene annotata è:
$ E[y_t] = phi_0*sum_(i=0)^(t-1)phi_1^i + phi_1^(t)*y_1 $
che però, sostituendo t come prima fa risultare che:
$ E[y_3] = phi_0 + phi_0phi_1+phi_0phi_1^2+phi_1^3y_1 $
che non ritengo corretta. Dove sta l'errore? Grazie a chi risponderà.
Walter97lor
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Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

Messaggioda Walter97lor » 13/06/2019, 08:21

Qualcuno può aiutarmi?
Walter97lor
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Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

Messaggioda Walter97lor » 16/06/2019, 15:42

Se il procedimento non è chiaro sono disponibilissimo per riscriverlo e chiarire i punti, volevo sapere la vostra per essere sicuro dei passaggi. Grazie a chi risponderà.
Walter97lor
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Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

Messaggioda Walter97lor » 17/06/2019, 08:33

Grazie mille per aver risposto!
Walter97lor
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Re: Scrittura ricorsiva modello ARMA

Messaggioda Walter97lor » 18/06/2019, 13:48

Hai perfettamente ragione, in effetti il titolo inserito non è molto attraente. Farò più attenzione in futuro; grazie ancora.
Walter97lor
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