Errore quadratico medio

Testo:
Sia X1,...,Xn un campione casuale, di dimensione n, estratto da una distribuzione rettangolare uniforme sull'intervallo [3a, 5a]. Dopo aver determinato uno stimatore di a con il metodo dei momenti, calcolarne l'errore quadratico medio MSE.

Risoluzione:
Ho trovato lo stimatore con il metodo dei momenti e mi risulta $ a = (Xn)/4 $
per calcolare l'MSE la formula del docente è la varianza/n.
la varianza per la distribuzione rettangolare è $ σ^2 = (b-a)^2/12 $
quindi facendo i calcoli viene $ σ^2 = (5a-3a)^2/12 = a^2/3 $
fatto ciò dovrei fare fratto n e verrebbe $ MSE = a^2/(3n) $
ma il risultato dovrebbe essere $ a^2/(48n) $
cosa sbaglio? vi ringrazio in anticipo

L'errore quadratico medio dello stimatore è dato dalla sua varianza più la distorsione al quadrato. Quindi la prima cosa da fare è vedere se lo stimatore è distorto per il parametro oppure no.

$mathbb{E}[hat(a)]=1/4mathbb{E}[bar(X)_n]=mu/4=(4a)/4=a$

lo stimatore $hat(a)$ è non distorto $rarr$ il suo MSE coinciderà con la sua varianza

$MSE_(hat(a))=Var(hat(a))=Var[(bar(X)_n)/4]=1/16(Var(X))/n=a^2/(48n)$

Attenzione che non puoi confondere il parametro ( ignoto, da stimare) $a$ con il suo stimatore (funzione dei dati) $hat(a)=(bar(X)_n)/4$

intanto grazie per la risposta, posso chiederti un chiarimento sul come hai fatto a ricavare a? non ho capito questi passaggi $ mathbb{E}[hat(a)]=1/4mathbb{E}[bar(X)_n]=mu/4=(4a)/4=a $
quindi L'MSE se $ a^ ^ $è non distorto è $ ((Xn)/4)^2 * (var (x))/n $ ?
E se $ a^ ^ $ fosse distorto?

come hai fatto a ricavare a?

Non si "ricava", per capire se una statistica è deviata o meno devi calcolarne il valore atteso, se ottieni il parametro che stai cercando allora hai ottenuto una statistica unbiased, altrimenti il contrario.

ok ottimo, grazie mille per l'aiuto a tutti e due