statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 19/06/2019, 16:16

buongiorno a tutti,
sto facendo esami di integrazione per passare a ing matematica ma sto riscontrando alcuni problemi.
in particolare in questo esercizio:
$x1,...,xn$ con distribuzione $ f (x,vartheta)= (4(x-1)^3)/(vartheta -1)^4I(x)[1,vartheta ] $ con theta >1
dove la quadra indica l'intervallo della funzione indicatrice.
il primo punto chiede di trovare una statistica sufficiente e vorrei chiedere delle delucidazioni in proposito:
gli unici metodi che conosco sono il teorema fattorizzazione e famiglia esponenziale ve ne sono altri?
ho cercato di utilizzare il terema della fattorizzazione quindi ho scritto la legge del campione come produttoria essendo le variabili tutte iid ma non so come comportarmi con la funzione indicatrice, dopo che la trasformo in:
$ I(x)[1,vartheta ]rArr I=(x(n))[1,vartheta]rArr I(vartheta)[x(n),oo ] $
ottengo una funzione della sola theta o essendo ancora legata a il massimo del campione è funzione sia di theta che di x?

chiedo scusa se ci sono domande troppo stupide o banali mami sembra mi manchi qualcosa nella teoria delle funzioni indicatrici...
grazie mille per il tempo dedicatomi.
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda tommik » 19/06/2019, 16:26

Di modi per trovare lo stimatore sufficiente ce ne sono diversi, a partire dalla definizione, per passare a teoremi noti quando la famiglia è regolare ecc ecc

In questo caso, trattandosi di famiglia NON regolare, il modo più semplice è quello di usare il teorema di fattorizzazione come del resto hai fatto. Quindi è tutto giusto, mancano solo le conclusioni.

$Pi_i f(x_i;theta)=4^n/(theta-1)^(4n)Pi_i (x_i-1)^3 mathbb{1}_([x_((n));+oo))(theta)$


dove $h(ul(x))=Pi_i (x_i-1)^3 $

e $x_((n))$ è l'ennesima statistica d'ordine (il massimo fra le n osservazioni)

Si vede bene che lo stimatore sufficiente è quindi $T=x_((n))$ e ciò in quanto la funzione

$g(T(ul(x)),theta)=4^n/(theta-1)^(4n) mathbb{1}_([x_((n));+oo))(theta)$



dipende sia dal parametro $theta$ che dai dati $ul(x)$ ma dipende dai dati solo attraverso una specifica funzione che appunto è lo stimatore sufficiente (ed anche quello di massima verosimiglianza, essendo la verosimiglianza strettamente decrescente in $theta$)

:smt039
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 19/06/2019, 16:41

ok grazie mille, celerissimo nella risposta :)
quindi per essere sicuro di aver capito $T(x)$ non deve per forza comparire come funzione "semplice" (esempio moltiplicata o $ e^(sum(x)) $ ) ma conparire anche nell indicatrice come in questo caso.
grazie mille in anticipo :)
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda tommik » 19/06/2019, 16:51

esattamente. La cosa importante è che nella funzione $g(t(ul(x)),theta)$ la dipendenza dai dati sia solo attraverso $t$...ed ovviamente che la funzione $h$ non dipenda da $theta$

In termini formali, $T$ è sufficiente per $theta$ se (anzi, se e solo se) si può fattorizzare la densità congiunta del campione nel seguente modo

$ f(ul(x);theta)=h(ul(x))g(T(ul(x)),theta)$
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 19/06/2019, 19:24

grazie mille :)
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 21/06/2019, 23:45

scusami ho avuto un altro dubbio rilevante in particolare le funzioni indicatrici, non sapendo se aprire un nuovo topic esclusivamente scrivo prima qua:
non avendo fatto esami di probabilita devo aver qualche lacuna sull'argomento.
la definizione di funzione indicatrice mi sembra di averla capita ossia restituisce 1 se $ x in $ all'insieme indicato $ 0 $ altrimenti.
il mio dubbio deviva dal fatto che nell'esercizio qui illustrato la produttoria diveniva:
reggi96 ha scritto: $ I(x)[1,vartheta ]rArr I=(x(n))[1,vartheta]rArr I(vartheta)[x(n),oo ] $

mentre in quest'altro
$ x_1,...,x_n $ iid con distribuzione $ f(x,vartheta )=exp(-(x-vartheta )* I_[0,oo ] (x ) $
la legge del campione diventa $ f(x,vartheta )=exp(-sum (x_i-vartheta ))* I_[0,oo ] (x_1) $ ( dove $x_1$ indica il minimo del campione)
vorrei sapere come ragionare con la produttoria di funzioni indicatrici .
perchè alcune "estraggono" il massimo altre il minimo?

e alla fine ( siccome lavoro con la L(theta, x)) diventa :$ f(x,vartheta )=exp(-sum (x_i-vartheta ))* I_[-oo,x_1 ] (vartheta) $
come compare theta all'interno di questa funzione indicatrice?

se non è chiedere troppo oltretutto non so perchè \( x_i \leadsto T+\vartheta \) con \( T=\xi (1) \) esponenziale traslata?
(potrei aver preso male gli appunti ed essere un dato ma se non lo fosse come lo capivo?)

grazie mille in anticipo
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 22/06/2019, 00:02

su come la faccio diventare funzione di theta forse ho capito: siccome indentifica il minimo e per gli altri valori vale 0 posso sostituirla con una funzione indicatrice di theta fino al minimo ( dopo tanto sarebbe zero anche quella di partenza) ma perche la faccio partire da meno infinito? non basterebbe renderla come $ I_{x_1}(theta) $ ??
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda tommik » 22/06/2019, 01:49

Hai scritto le formule un po' "da cane" comunque penso di aver capito cosa non ti è chiaro.

La densità della popolazione è questa

$f_X(x|theta)=e^(theta-x)*mathbb{1}_((theta;+oo))(x)$

$theta in RR$

Come vedi dal grafico, si tratta di un'esponenziale negativa $Exp(1)$ traslata...quindi di media $mathbb{E}[X]=e^theta$

(cliccami per ingrandirmi)
Immagine

Tu invece hai scritto come dominio $(0;+oo)$ ed è sbagliato (integra la densità e te ne rendi conto)

Primo punto...calcoli la verosimiglianza moltiplicando le densità (osserva che la funzione risultante è strettamente crescente rispetto a $theta$)

$L(theta)=e^(n theta-Sigma_i x_i)$

Ora ne devi calcolare il dominio....dato che tutte le variabili hanno la stessa distribuzione, considerando dove è definità $f_X(x)$ e dove è definito il parametro $theta$, avrai

$-oo<theta<x_1<+oo$
$-oo<theta<x_2<+oo$
...
$-oo<theta<x_n<+oo$

e quindi vedi che se ne può dedurre che $theta$ è più piccolo di tutte le $X_i$, ovvero è più piccolo del minimo...

Quindi in definitiva la verosimiglianza verrà

$L(theta)=e^(n theta-Sigma_i x_i)*mathbb{1}_((-oo;x_((1))))(theta)$


Dato che la L è strettamente crescente rispetto a $theta$ avrà il suo $"ArgSup"$ proprio in corrispondenza di $x_((1))$ che è quindi lo stimatore di massima verosimiglianza .... ed anche lo stimatore sufficiente per il seguente teorema:

Se esiste uno stimatore sufficiente $S$ allora lo stimatore di massima verosimiglianza è funzione di $S$


(la dimostrazione te la lascio per esercizio)

La funzione indicatrice la puoi esprimere come ti pare, rispetto a $theta$ o rispetto a ciò che vuoi...non è obbligatorio esprimerla rispetto a $theta$ ma torna molto comodo perché devi massimizzare la verosimiglianza proprio rispetto al parametro....

[-o< la prossima volta, se hai un altro esercizio, apri un nuovo topic
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Re: statistiche sufficienti funzione indicatrice

Messaggioda reggi96 » 22/06/2019, 15:12

tommik ha scritto:Tu invece hai scritto come dominio $(0;+oo)$

[-o< la prossima volta, se hai un altro esercizio, apri un nuovo topic1


avevo proprio gli appunti sbagliati (e dato per valida la distribuzione) per questo mi sembravano insensati i passaggi...
pero adesso mi è chiaro come ragionare io avevo imparato a memoria alcuni casi, cosi è tutto piu sensato.

grazie mille ancora una volta
p.s. adesso ho capito perche in un vecchio topic ti chiamavano dio tommik :smt002

Note

  1. certo lo farò sorry per questa volta
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