Esercizio Campionamento

Messaggioda Dlofud » 20/06/2019, 13:51

Salve ragazzi,

ho qui un esercizio su cui vorrei un po' di supporto:

C'è un campione di 47 pezzi con al più un pezzo difettoso, si assume che i casi siano equiprobabili (quindi io direi una deviazione standard di 0,5).
Il controllo è fatto prendendo un pezzo e testandolo con una misura distruttiva (?) e ripetendo la misura 3 volte (si intende su 3 pezzi quindi, vero?): se nessun pezzo è difettoso, il campione passa il controllo.

Come potrei determinare la probabilità che un campione passi il controllo?

Grazie ragazzi! :)
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda tommik » 20/06/2019, 13:58

Dlofud ha scritto:C'è un campione di 47 pezzi con al più un pezzo difettoso


Dlofud ha scritto:Il controllo è fatto prendendo un pezzo e testandolo con una misura distruttiva, e ripetendo la misura 3 volte: se nessun pezzo è difettoso, il campione passa il controllo.


traduco: hai una scatola con 47 fiammiferi e sai che, con pari probabilità, ci sono o 47 fiammiferi buoni oppure 46. Il controllo è fatto prendendo 3 fiammiferi e provandoli....se tutti e 3 funzionano allora la scatola è buona, altrimenti no.

La soluzione è evidentemente questa:

$1/2+1/2(((46),(3)))/(((47),(3)))~~96.81%$


Ma altrettanto evidentemente è un esercizio "del piffero" perché se al controllo distruttivo trovi l'unico (ed eventuale) fiammifero difettoso la scatola è sicuramente buona e tu la scarti.
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda Dlofud » 20/06/2019, 14:18

tommik ha scritto:
traduco: hai una scatola con 47 fiammiferi e sai che, con pari probabilità, ci sono o 47 fiammiferi buoni oppure 46.


Perfetto tommik, così lo capisco meglio.

tommik ha scritto:Il controllo è fatto prendendo 3 fiammiferi e provandoli....se tutti e 3 funzionano allora la scatola è buona, altrimenti no.

La soluzione è evidentemente questa:

$1/2+1/2(((46),(3)))/(((47),(3)))~~96.81%$


Ma altrettanto evidentemente è un esercizio "del piffero" perché se al controllo distruttivo trovi l'unico (ed eventuale) fiammifero difettoso la scatola è sicuramente buona e tu la scarti.


Qui che formula hai usato tommik? Non mi pare di vederla tra le mie, uhm...
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda tommik » 20/06/2019, 14:22

ho usato il teorema delle probabilità totali:

la scatola può essere: tutta ok oppure no, con probabilità $1/2$ per entrambi i casi....

Ora devo calcolare la probabilità di estrarre 3 fiammiferi (senza reimmissione) e trovarne 3 buoni...

Se la scatola non contiene fiammiferi balordi estrarrò 3 fiammiferi buoni con probabilità 1

$1/2*1$

se invece la scatola contiene un fiammifero non funzionante, allora per passare il controllo dovrò avere

$1/2xx46/47xx45/46xx44/45$

sommo il tutto e stop.

Nell'altra formula ho scritto la stessa cosa utilizzando "Casi favorevoli" diviso "Casi possibili", ovvero tutte le terne contenenti fiammiferi buoni diviso tutte le terne possibili
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda Dlofud » 20/06/2019, 14:32

Fantastico tommik, grazie!

L'esercizio chiede anche:

"se voglio calcolare la numerosità del campione perché la probabilità di passare il controllo sia del 99% assumendo che ci sia anocra al più un pezzo difettoso (quindi con uno Z-score di 2,58 direi), come compilo la formula?"
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda tommik » 20/06/2019, 14:38

$n=1$..evidentemente...e nemmeno ci arriva a 99%...viene 98.94
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda Dlofud » 20/06/2019, 14:52

Uhm, cioè usando la formula per la dimensione del campione, se al numeratore scrivo (2.58)^2 * 0,5 * (1 - 0,5)... al denominatore, dove dovrei scrivere la precisione desiderata, come la esprimo tommik? 46/47?
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda tommik » 20/06/2019, 15:26

hai 75 messaggi all'attivo...perché non scrivi le formule come prescritto dal regolamento?

L'esercizio in questione è sul campionamento esaustivo, non c'entra nulla lo z score.

La probabilità richiesta è la media fra due probabilità

Una che vale $1$ ed è la probabilità di estrarre k fiammiferi buoni dalla scatola con nessun fiammifero difettoso

L'altra è $p<1$ ed è la probabilità di estrarre k fiammiferi tutti buoni dalla scatola con un fiammifero difettoso.

E' abbastanza evidente che, più fiammiferi estrai e più $p$ si abbassa. Quindi il massimo valore di $p$ e dunque anche della media in questione, si ha con $n=1$

In definitiva basta fare

$1/2+1/2xx46/47~~99%$
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda Dlofud » 20/06/2019, 15:44

Scusa tommik, è che qua sul netbook, aprire la scheda con le simbologie, cercare di leggerle e tutto mi costa un sacrificio che non puoi capire, sigh...

Grazie di nuovo intanto!

Devo dirti la verità, per come sapevo io, anche il campionamento esaustivo (con o senza reimmissione) prevede lo z score, significa che non ho capito bene a che tipologia di esercizio mi sto riferendo, argh.

Ho provato a fare una ricerca su Google dopo aver letto il tuo post, ma senza successo... avresti un link con le formule per il campionamento esaustivo e la ricerca della numerosità del suo campione, uhm...?
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Re: Esercizio Campionamento

Messaggioda tommik » 20/06/2019, 17:29

Dlofud ha scritto: per come sapevo io, anche il campionamento esaustivo (con o senza reimmissione) prevede lo z score,


sì ma intendevo dire che in questo esercizio non si può fare. Hai un campionamento discreto, con $n<=3$, come pretendi di poter usare una Gaussiana per approssimare i dati? Oltretutto nel campionamento senza reimmissione occorrerebbe anche correggere le formule per adattarle al nuovo tipo di campionamento.

Qui devi solo osservare che, estraendo k fiammiferi e volendo ottenerli tutti funzionanti il risultato sarà

$46/47$ se estrai un fiammifero

$46/47xx45/46$ se ne estrai due

$46/47xx45/46xx44/45$ se ne estrai tre e così via....

non mi sembra un segreto scoprire che il valore più alto è quello che si ottiene estraendo un fiammifero solo.... e quindi arrivi alla soluzione

$(1+46/47)/2=98.94%~~99%$
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