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I gestori di Trennolandia hanno appena inaugurato un gioco in cui i bambini possono camminare e saltare su una rete sospesa. Due genitori, Anna e Marco, esperti di statistica, si chiedono quale sia il peso X che sta sostenendo la rete. Marco ipotizza che X segua la distribuzione f(θ), mentre Anna sostiene la densità g(θ), dove:


$ f(x)=1/(2sqrt(vartheta x))I(0,vartheta ) $ ;
$ g(x)=1/(2sqrt(vartheta(vartheta-x)))I(0,vartheta ) ; $

dove θ > 0 indica la quantità massima di sicurezza consentita. Per decidere che modello utilizzare, Anna e Marco assumono θ = 1 e decidono di effettuare il test d’ipotesi
H0 : X∼f1(x) vs H1 : X∼g1(x).
(a) Trovare il test UMP per (1) di livello α ∈ (0, 1).
(b) Calcolare la potenza e stabilire se il test `e non distorto.
(c) Stabilire quale decisione prendere osservando il valore x = 0.94 con α = 0.05.

A questo punto, una volta chiamata hθ la famiglia selezionata al punto (c), Anna e Marco vogliono fare inferenza sul parametro θ, ed in particolare effettuare il seguente test d’ipotesi:

H0 : θ ≤ 1 vs H1 : θ > 1.

(d) Costruire un test di livello α ∈ (0, 1) basato sul rapporto di verosimiglianza per (2).

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ho svolto il punto (a) e mi esce regione critica R= $ {x>(1-alpha)^2} $ , per il punto (c) io sostituirei i valori e esce 0.94>0.9025 che verifica la regione critica quindi mi verrebbe da dire che scelgo la funzione g. nel fare il punto (d) però mi esce che la likelyhood calcolata nello stimatore MLE (theta MLE=x) è infinito e quindi non so che fare

Ti faccio solo notare che negli esercizi che hai postato finora al massimo sei arrivato ad applicare Karlin Rubin....ma per ipotesi composte unilaterali un test UMP esiste solo se la densità da cui si campiona ha un rapporto di verosimiglianza monotono rispetto a qualche statistica.
Purtoppo per la densità $g$ ciò non accade, infatti posto $theta_0<theta_1$

$LR=sqrt(theta_1/theta_0(theta_1-x)/(theta_0-x))(mathbb{1}_((0;theta_0))(x))/(mathbb{1}_((0;theta_1))(x))$

$LR={{: ( sqrt(theta_1/theta_0(theta_1-x)/(theta_0-x)) , ;0<x<theta_0 ),(0, ;theta_0 <=x<=theta_1 ) :}$

Che è crescente per $0<x<theta_0 $ mentre poi è zero.








Diverso è per la densità f. Essa ha un LR monotono...