stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 22/06/2019, 14:53

Sia X1 , .., Xn un campione casuale d’ampiezza n ≥ 1 in cui ciascuna variabile abbia legge:

$ f(x;γ,λ)=λe^(-λ(x-γ))1(γ,+∞)(x) $

Si trovino gli stimatori massima verosimiglianza per (λ,γ)


per lo stimatore MLE di λ non ho problemi, per quello di γ invece non so proprio come fare, non è che qualcuno potrebbe spiegarmelo?
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Re: stimatore MLE

Messaggioda tommik » 22/06/2019, 15:06

$hat(gamma)_(ML)=x_((1))$

$hat(lambda)_(ML)=n/(Sigma_i x_i-nx_((1)))$
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Re: stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 22/06/2019, 15:07

come hai trovato $ gamma MLE $ ?
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Re: stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 22/06/2019, 15:27

così l'ho scritto in modo accettabile? ahah
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Re: stimatore MLE

Messaggioda reggi96 » 22/06/2019, 15:54

premesso che anche io ho dei grossi dubbi su questo tipo di esercizio ti provo a spiegare come lo ho risolto io:
\( f(\overrightarrow{x},\lambda,\gamma )= \lambda ^n * exp ({\lambda \gamma n-\lambda \sum {x} })\prod_{i = 1}^{n} I_{\gamma,\infty}(x_i) \)
analizzando il dominio della funzione indicatrice ( come tommik insegna ;) )
$-oo<gamma<x_1<+oo$
$-oo<gamma<x_2<+oo$
...
$-oo<gamma<x_n<+oo$
si nota che si puo riscrivere come $I_(-oo,x_1)(gamma)$
da qui si puo utilizzare il teorema di fattorizzazione per capire che x_1 ossia il minimo è statistica sufficiente e anche solo graficamente si vede che x_1 è MLE (il massimo della nostra funzione trovata) per $gamma$
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Re: stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 22/06/2019, 16:56

grazie
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Re: stimatore MLE

Messaggioda tommik » 23/06/2019, 10:56

reggi96 ha scritto: e anche solo graficamente si vede che x_1 è MLE (il massimo della nostra funzione trovata) per $gamma$


giusto....con una precisazione. Il massimo di una funzione è il punto in ordinata di un'ascissa che appartiene al dominio. Qui $x_((1))$ non appartiene nemmeno al supporto. Infatti abbiamo $mathbb{1}_((-oo;x_((1))))(gamma)$

PS: dovresti scrivere meglio le formule, guarda come ho fatto io con i pedici (basta che fai "cita" sul mio messaggio)

In definitiva il risultato è giusto ma con la seguente correzione:

$x_((1))$ è l'ArgSup della funzione.

Infatti lo stimatore di massima verosimiglianza può anche non appartenere al dominio del parametro, basta che appartenga ad una sua chiusura euclidea

$hat(theta)_(ML) ="ArgSup_(theta in Theta) L(theta)$

NOTA BENE: diversi testi, anche molto diffusi, definiscono lo stimatore di massima verosimiglianza come "ArgMax" ma, ahimé, è un errore.
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Re: stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 23/06/2019, 17:26

una volta trovato $ \hat gamma_(ML)=x_((1)) $ voglio trovare l'UMVUE a partire da $ \hatgamma_(ML) $ .
per fare ciò devo controllare il valore atteso di $ \hatgamma_(ML) $ e quindi mi serve la distribuzione di $ \hat gamma_(ML) $ che ho trovato imponendo
$ F_(X_((1)))(t)=P(X_((1))<t)=1-P(X_((1))>t)=1-(P(X_((i))>t))^n=1-(1-P(X_((i))<t)^n $ $ =1-( int_(t)^(oo ) lambda e^(-lambda (x-gamma )) dx)^n=...=1-e^(nlambda(gamma -t) $
ora trovo $ f_(X_((1)))(t)=nlambda e^(nlambda (gamma -t) $
quindi il valore atteso di $ \hatgamma_(ML) $ è $ E(X_((1)))=int_(gamma )^(oo ) tnlambda e^(nlambda (gamma -t))dt=gamma +1/(nlambda ) $ solo che qualcosa non quadra perché io mi aspettavo di trovare un risultato del tipo $ gamma c $ dove 1/c è la costante che avrei moltiplicato a $ \hatgamma_(ML) $ per rendere $ \hatgamma_(ML) $ non distorto e quindi l'UMVUE. cosa ne pensate ?
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Re: stimatore MLE

Messaggioda tommik » 23/06/2019, 18:24

non ho fatto i conti ma se li hai fatti bene (ed immagino con $lambda$ fissato) hai trovato che $mathbb{E}[x_((1))]=gamma +c$

...e mi pare un buon risultato. Purtroppo per statistica $T=x_((1))$ hai solo provato che è sufficiente....mentre per applicare Lehmann Scheffé deve essere anche completa. Dato che il modello non è regolare devi quindi provare che

$mathbb{E}_gamma[g(T)]=0 rarr mathbb{P}_gamma[g(T)=0]=1$ , $AA gamma$

...ho scritto una guida completa per la ricerca degli UMVUE...non l'hai guardata?
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Re: stimatore MLE

Messaggioda FabioA_97 » 23/06/2019, 18:37

ma siccome $ x_((1)) $ ha legge di un esponenziale traslata, non implica che è statistica sufficiente e completa?
Ultima modifica di FabioA_97 il 23/06/2019, 19:11, modificato 1 volta in totale.
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