Re: stimatore MLE

Messaggioda tommik » 24/06/2019, 10:09

Ho controllato per bene i calcoli che hai fatto e....sono tutti corretti, manca solo di provare la completezza. Dato che ho appena scritto una guida sulla ricerca di UMVUE, risolvo per bene l'esercizio e lo aggiungo nella guida, per futura utilità di altri studenti.

Ripetere i passaggi che hai già fatto correttamente ha il solo scopo di avere un post con tutta la soluzione senza dover costringere gli utenti ad andare su e giù per n post.

Tanto per iniziare, dovendo calcolare l'UMVUE di $gamma$, che chiamo $theta$ perché mi piace di più.....si intende per $lambda$ fissato e quindi, senza perdere di generalità e semplificando la notazione, pongo $lambda=1$

La densità della popolazione diventa dunque

$f_X(x)=e^(theta-x)mathbb{1}_((theta;+oo))(x)$

con funzione di ripartizione $F_X(x)=1-e^(theta-x)$

Cerchiamo lo stimatore sufficiente:

$L(theta)=e^(-Sigma_i x_i)*e^(ntheta)mathbb{1}_((-oo;x_((1))))(theta)$

da cui si vede che $T=x_((1))$ è stimatore sufficiente.....non necessariamente completo, dato che il dominio della variabile dipende da $theta$

$F_T(t)=1-(1-F)^n=1-e^(ntheta-nt)$

$f_T(t)=n e^(ntheta-nt)$

Iniziamo comunque a calcolarne il valore atteso

$mathbb{E}[T]=int_(theta)^(+oo)nte^(ntheta-nt)dt=...=theta+1/n$

Quindi $T_1=x_((1))-1/n$

E' stimatore non distorto e funzione di una statistica sufficiente.....se tale statistica fosse anche completa, $T_1$ sarebbe UMVUE

Vediamo quindi come provare la completezza di T

Supponiamo che esista una funzione $g$ tale per cui

$mathbb{E}_theta[g(T)]=0$ , $AAtheta$

ovvero supponiamo che

$int_(theta)^(+oo)g(t)n e^(ntheta-nt)dt=0 rarr int_(theta)^(+oo)g(t)e^(-nt)dt=0$

deriviamo entrambi i membri rispetto a $theta$ ottenendo

$-g(theta)e^(-ntheta)=0$

che evidentemente implica

$mathbb{P}_theta[g(theta)=0]=1$, $AAtheta$


...in altri termini...Sì, $T_1=x_((1))-1/n$ è UMVUE
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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