Ripetere i passaggi che hai già fatto correttamente ha il solo scopo di avere un post con tutta la soluzione senza dover costringere gli utenti ad andare su e giù per n post.
Tanto per iniziare, dovendo calcolare l'UMVUE di $gamma$, che chiamo $theta$ perché mi piace di più.....si intende per $lambda$ fissato e quindi, senza perdere di generalità e semplificando la notazione, pongo $lambda=1$
La densità della popolazione diventa dunque
$f_X(x)=e^(theta-x)mathbb{1}_((theta;+oo))(x)$
con funzione di ripartizione $F_X(x)=1-e^(theta-x)$
Cerchiamo lo stimatore sufficiente:
$L(theta)=e^(-Sigma_i x_i)*e^(ntheta)mathbb{1}_((-oo;x_((1))))(theta)$
da cui si vede che $T=x_((1))$ è stimatore sufficiente.....non necessariamente completo, dato che il dominio della variabile dipende da $theta$
$F_T(t)=1-(1-F)^n=1-e^(ntheta-nt)$
$f_T(t)=n e^(ntheta-nt)$
Iniziamo comunque a calcolarne il valore atteso
$mathbb{E}[T]=int_(theta)^(+oo)nte^(ntheta-nt)dt=...=theta+1/n$
Quindi $T_1=x_((1))-1/n$
E' stimatore non distorto e funzione di una statistica sufficiente.....se tale statistica fosse anche completa, $T_1$ sarebbe UMVUE
Vediamo quindi come provare la completezza di T
Supponiamo che esista una funzione $g$ tale per cui
$mathbb{E}_theta[g(T)]=0$ , $AAtheta$
ovvero supponiamo che
$int_(theta)^(+oo)g(t)n e^(ntheta-nt)dt=0 rarr int_(theta)^(+oo)g(t)e^(-nt)dt=0$
deriviamo entrambi i membri rispetto a $theta$ ottenendo
$-g(theta)e^(-ntheta)=0$
che evidentemente implica
$mathbb{P}_theta[g(theta)=0]=1$, $AAtheta$
...in altri termini...Sì, $T_1=x_((1))-1/n$ è UMVUE