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Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con legge:

$ f(x;θ)= θ^3/2e^(3x)e^(-θe^x) $

dove θ `e un parametro positivo incognito, θ > 0.

(a) Determinare una statistica T sufficiente, minimale e completa per θ.
(b) Stabilire se T ha rapporto di Likelihood monotono.
(c) CostruireuntestUMPdilivelloαperH0: θ≤θ0 vsH1: θ>θ0.

$ T=sume^x $
per il punto (b) devo usare la funzione densità di X o T? io userei quella di T ma il punto (c) mi suggerisce di usare quella di X per poi applicare Karlin-rubin

ahahahahah

Sì ma la miseria......non hai nemmeno scritto la traccia completa; non hai scritto quale sia il supporto della variabile

$X in $???

Per compensare a tale lacuna vedo che però hai scritto lo stesso messaggio due volte...

Premesso che per me è evidente che $X in RR$, vorrei farti entrare in testa (lo so che è tempo sprecato) che gli esercizi vanno scritti per intero, parola per parola, virgole ed avverbi inclusi e con TUTTE LE FORMULE scritte per bene

Ora secondo te uno dovrebbe stare a fare i conti per capire quale sia il dominio della variabile?

Inoltre: prima di rispondere hai verificato l'appartenenza del modello alla Famiglia Esponenziale? Se così non fosse avresti grossi problemi a dimostrare che la statistica sufficiente è anche completa....


Una volta trovata la statistica CSS il test si basa su quella....ed una volta verificato facilmente che il LR è monotono

$LR=(theta_0/theta_1)^(3n)e^((theta_1-theta_0)Sigma_x e^x)=(theta_0/theta_1)^(3n)e^((theta_1-theta_0)T)=g(T)$

che è evidentemente una funzione crescente della statistica CSS


....esiste un apposito teorema (karlin rubin, appunto) che ti da già la regione critica per tutti i test unilaterali

Sul Mood Graybill Boes è il teorema 9.6, (capitolo 9, teorema 6)

PS: per risovere questi test occorre comunque conoscere la distribuzione di T ma qui ti chiede solo di "costruirlo" il test, ovvero di verificare le ipotesi (te le ho fatte praticamente tutte io ) ed applicare il noto teorema. Immagino quindi che il suggerimento di usare la Densità di X si riferisca ai punti precedenti, ovvero a quelli necessari per provare le condizioni necessaria all'applicazione di Karlin Rubin e non alla costruzione del test

il testo dell'esercizio è così come l'ho riportato, ho solo omesso gli ultimi due punti perché non inerenti alla mia domanda, però se mi dici che è giusto metterli provvederò per la prossima volta..

No gli ultimi due punti non interessano per la domanda che hai fatto....hai fatto bene ad ometterli

... allora o è una mancanza dell'esercizio oppure devi anche capire quale sia il dominio di X...non è difficile ma, essendo tutto un altro argomento, pensavo che il testo non richiedesse certi calcoli.

Comunque la mia osservazione nasce dal fatto che spesso posti testi mal scritti....come ho avuto modo di rilevare più volte

cercherò di scriverli al meglio le prossime volte