Dubbio derivata parziale della funzione di ripartizione e densità condizionata

[paoletinho]

Ciao a tutti,
avrei un dubbio per quanto riguarda la derivata parziale di una funzione di ripartizione in due variabili e la relazione con la densità condizionata.

Supponiamo di avere

$F_X,_Y(x,y) = P(X<=x, Y<=y)$

se non ricordo male, la densità condizionata di $X|Y=y$ è definita nel modo seguente

$F_X(x|Y=y) = lim_(h->0)(F_X,_Y(x,y+h) - F_X,_Y(x,y))/(F_Y(y+h)-F_Y(y))$

mentre la derivata parziale prima rispetto alla seconda variabile è definita nel modo seguente

$(partialF_(X,Y)(x,y))/(partialy)= lim_(h->0)(F_X,_Y(x,y+h) - F_X,_Y(x,y))/(h)$

le due formule sono diverse ma nel caso in cui $Y~ U(0,1)$ si ha che

$F_Y(y)=y$

ed in tal caso, quindi

$F_X(x|Y=y) = (partialF_(X,Y)(x,y))/(partialy)$

a questo punto avrei due dubbi.

1. Quanto riportato sopra è corretto?

2. Se il punto uno è giusto, nel caso in cui $Y$ non è uniforme in $(0,1)$, la derivata parziale prima ha qualche significato? Esprime lo stesso la densità condizionata? Dai passaggi fatti sembrerebbe che solo il caso $Y~U(0,1)$ implica $F_X(x|Y=y) = (partialF_(X,Y)(x,y))/(partialy)$ ma non vorrei che mi sfugga qualcosa.


Grazie mille per l'aiuto

EDIT: avrei un ulteriore dubbio di cui sono abbastanza sicuro ma, avendo già postato un messaggio, lo chiedo per scrupolo

3. supponendo di avere il seguente vettore aleatorio $(X,Y,Z)$ la densità di $X|Y=y,Z=z$ si può definire nel modo seguente?

$F_X(x|Y=y, Z=z) = lim_(h->0)(F_X,_Y(x,y+h|Z=z) - F_X,_Y(x,y|Z=z))/(F_Y(y+h|Z=z)-F_Y(y|Z=z))$