densità di una composizione

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho una domanda inerente al calcolo del valore atteso di una composizione data da due funzioni dove;

$X:Omega->RR$ è una variabile aleatoria continua con densità $f:RR->RR$
$g:RR->RR$ è una funzione continua e invertibile(quindi monotona, la suppongo crescente)

mi chiedevo la seguente cosa; quando andiamo a calcolare il valore atteso

$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)xf(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx=int_(-infty)^(+infty)g^(-1)(g(x))f(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx$

si arriva a $E[Y]=lim_(t->+infty)int_(-t)^(t)g(g^(-1)(x))f(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx=lim_(t->+infty)int_(g^(-1)(-t))^(g^(-1)(t))g(x)f(x)dx$

da cui

$E[Y]=int_(g^(-1)(-infty))^(g^(-1)(+infty))g(x)f(x)dx$

in alcuni testi invece si chiede di dimostrare che $E[Y]=int_(-infty)^(+infty)g(x)f(x)dx$
Sicuramente se $g$ è superiormente e inferioremente illimitata questo è vero; ma è vero in generale? o semplicemente si suppone che $g$ debba essere illimitata?

nb: nella definizione del valore atteso ho utilizzato che deve essere $E[Y]:=int_(-infty)^(+infty)x*f_Y(x)dx$ ed essendo in questo caso $f_Y(x)=f(g^(-1)(x))g^(-1)(x)'$ sono arrivato a quella conclusione.

sbaglio qualcosa?

[tommik]

Gli estremi $(-oo;+oo)$ sono intesi "in generale " , nei casi particolari vanno sostituiti con gli estremi del supporto.

Es. $X~U(0;2)$

$mathbb{E}[X^2]=1/2int_0^2 x^2 dx=1/4 int_0^4 sqrt(y)dy=4/3$


...puoi usare il metodo che ti piace di più

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nel caso in esame di solito si evitano calcoli inutili e si trova subito

$mathbb{E}[X^2]=2^2/12+1=4/3$

semplicemente utilizzando la definizione di varianza

[anto_zoolander]

Ciao tommik

Quindi quegli estremi vanno intesi come posizione generale però sostanzialmente mi appello a ciò che ho notato.

Chiaramente nei casi semplici tutta questa pappardella non serve a nulla