Problema nel calcolo di un valore atteso
Inviato: 12/07/2019, 16:30Ciao ragazzi,
ho un problemino nel calcolo di un valore atteso…
Il testo recita:
"Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due variabili aleatorie tali che \(\displaystyle Y \thicksim N(-1,1) \) e \(\displaystyle X_{|Y=y} \thicksim N(y+1,1) \): calcolare la \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) \)."
Dopo essermi ricavato la \(\displaystyle f_{X,Y}(x,y) \) che risulta essere \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-2x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} \)
Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).
Qui mi accorgo che corrisponde a un vettore aleatorio \(\displaystyle (X,Y) \) che si distribuisce come una \(\displaystyle N\left(\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix}\right] , \left[\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \right) \)
Ma la matrice di covarianza così scritta ha determinante negativo… e qui mi sono bloccato.
Confido in un vostro aiuto
-----
PS. Forse ho anche sbagliato la matrice della covarianza.. dovrebbe essere \(\displaystyle \left[\begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right] \)... ancora peggio perché la varianza non può essere negativa, proprio sbagliato scriverla una matrice del genere...
Quindi la mia domanda è: devo andare avanti a provare a calcolare l'integrale senza cercare delle densità note… o il fatto che una possibile densità nota che però non è corretta mi dice già qualcosa sul possibile risultato?
ho un problemino nel calcolo di un valore atteso…
Il testo recita:
"Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due variabili aleatorie tali che \(\displaystyle Y \thicksim N(-1,1) \) e \(\displaystyle X_{|Y=y} \thicksim N(y+1,1) \): calcolare la \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) \)."
Dopo essermi ricavato la \(\displaystyle f_{X,Y}(x,y) \) che risulta essere \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-2x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} \)
Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).
Qui mi accorgo che corrisponde a un vettore aleatorio \(\displaystyle (X,Y) \) che si distribuisce come una \(\displaystyle N\left(\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix}\right] , \left[\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \right) \)
Ma la matrice di covarianza così scritta ha determinante negativo… e qui mi sono bloccato.
Confido in un vostro aiuto
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PS. Forse ho anche sbagliato la matrice della covarianza.. dovrebbe essere \(\displaystyle \left[\begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right] \)... ancora peggio perché la varianza non può essere negativa, proprio sbagliato scriverla una matrice del genere...
Quindi la mia domanda è: devo andare avanti a provare a calcolare l'integrale senza cercare delle densità note… o il fatto che una possibile densità nota che però non è corretta mi dice già qualcosa sul possibile risultato?