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ho ricevuto un esercizio dalla prof:
Un’impresa ha installato un sistema automatico per il controllo di qualità, che garantisce che se un pezzo è
difettoso esso viene eliminato con probabilità pari a 0,995. C’è una piccola probabilità, pari a 0,001, che anche
un pezzo che non è difettoso venga eliminato. Si sa, inoltre, che la probabilità che un pezzo sia difettoso è pari a
0,2.
a) Calcolare la probabilità che si riscontri al più 1 pezzo difettoso, su 100 pezzi inviati alla vendita.
b) Calcolare la probabilità che si riscontri al più 1 pezzo difettoso, su 100 pezzi inviati alla vendita, senza
ricorrere al Teorema del Limite Centrale.
ho pensato di usare la formula per il binomiale ma non ho capito come procedere, qualcuno mi sa dare almeno il risultato?

La probabilità che i 100 pezzi siano tutti validi o al massimo 1 sia difettoso mi risulta del 99,3 %.
Utilizzando la regola bernoulliana ho considerato che mediamente siano stati esaminati 25 pezzi difettosi, 20 sui primi 100, poi altri 4 (Il 20% dei 20 pezzi scartati), a cui ne aggiungo 1 (per difetto, il 20 % di 4 è 0,8).
La probabilità cercata risulta allora:
$p(X<=2) = 25C0*0.995^25*0.005^0 +25C1*0.995^24*0.005^1 = 0.8822 + 0.1108$

Non mi è chiara l'utilità e l'eventuale impiego del dato della probabilità di 0,001 che un pezzo buono venga scartato: la confezione finale non deve comunque avere 100 pezzi?
Ledel

@8475lida: non tenere conto della soluzione postata da @ledel perché è del tutto sbagliata. Ora ti /vi posto la soluzione corretta ma, per favore, la prossima volta cerca di sforzarti un po' di più

Ledel ha scritto:Non mi è chiara l'utilità e l'eventuale impiego del dato della probabilità di 0,001 che un pezzo buono venga scartato

Se lo $0,1%$ dei pezzi buoni viene scartato significa che i pezzi venduti sul mercato sono l'$80.02%$ dei pezzi prodotti:

$0.005xx0.2+0.999xx0.8=0.8002$

cioè i pezzi "non buoni" più quelli "buoni" immessi sul mercato, ovvero lo $0.5%$ di quelli difettosi + il $99.9%$ di quelli buoni

e quindi la probabilità di avere un pezzo difettoso fra quelli acquistati è (ho usato il teorema di Bayes)

$(0.005xx0.2)/(0.005xx0.2+0.999xx0.8)=0.00125$

ora puoi applicare la binomiale calcolando

$mathbb{P}[X<=1]=(1-0.00125)^100+100xx0.00125xx(1-0.00125)^99=0.992873$

Avendo calcolato la probabilità esatta, il TLC non serve


Il fatto che il tuo risultato risulti numericamente più o meno corretto non significa che il procedimento sia giusto.

Ciao tommik , grazie per la risposta , ma perche' mi e' utile sapere la probabilità che un pezzo che non sia stato eliminato al controllo di qualità, sia difettoso?perche' io ho usato la binomiale direttamente sulla parte diffettosa(0.8002)?
ho fatto la binomiale p[x=1]+p[x=0] ma mi e' venuto un risultato quasi opposto al tuo.

Grazie tommik per la soluzione postata, non avevo pensato a Bayes e il mio ragionamento era effettivamente un po' rozzo... Imparare è sempre buona cosa!
Ledel