Stimatore mv e mm di una funzione di probabilità

[muccabaffuta]

Salve, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio che non riesco a risolvere.

Devo trovare uno stimatore di massima verosimiglianza e uno stimatore dei momenti per il paramentro teta della seguenze funzione di probabilità:

$ f=1/vartheta x^(1/vartheta - 1) $

E sapendo inoltre che:

$ E(X) = 1/(1+vartheta $

Ora, per lo stimatore di massima verosimiglianza dovrei ottenere L, trasformarla in una logL e derivare rispetto a teta. Ma come fare?

$ L=prod_(i = 1)^(n) f $

Quello che non riesco a capire è come derivare la parte della funzione che è:

$ L=prod_(i = 1)^(n) x^(1/vartheta - 1) $

Qualcuno sa instradarmi sulla via giusta?

Per quanto riguarda lo stimatore con il metodo dei momenti, mi basta uguagliare la E(X) alla media campionaria, giusto? Che nel caso di una tabella di frequenze risulterebbe:

$ 1/n sum(x'_i n_i) $

(indicando con x' il valore centrale delle varie classi)

[tommik]

scrivere tutto il testo sarebbe troppo complicato? Secondo te uno come fa a sapere dove è definita la variabile? Io lo so che $x in (0;1)$ perché quella è una densità nota ma ti pare il caso che uno si debba fare tutti i conti per scoprirlo???

...e il parametro $theta$? va bene $theta in RR$??

Inoltre come faccio a sapere che tipo di campionamento si usa? E l'ampiezza di tale campione?

Supponendo di estrarre un CCS di ampiezza $n$ dalla popolazione in oggetto...con $theta>0$

lo stimatore di mv viene

$hat(theta)_(MV)=(-Sigma_i log x_i)/n$

(basta applicare le proprietà dei logaritmi: prima calcoli $logL$ e poi derivi)

mentre per lo stimatore col metodo dei momenti basta risolvere $theta $ in funzione della media e sostituirla con la media campionaria trovando

$hat(theta)_(MM)=(1-bar(X))/bar(X)=(n- Sigma_i x_i)/(Sigma_i x_i)$

Saluti