Esercizio di Statistica

Messaggioda Raffaeleee11 » 13/07/2019, 11:50

Raga il professore mi ha dato quattro esercizi di statistica, due dei quali non so come svolgere..aiutatemi gentilmente.
1) y=x^2 , z=x^3 calcolare media e varianza di y e z (non capisco come calcolarle senza avere un intervallo di riferimento);
2) data X v.a. uniforme nell'intervallo (-1,1) calcolare media e varianza di x, y=x^2.
io so che nell'uniforme la media è b+a/2, e la varianza (b-a)^2/12... ma data la funzione come devo fare..?
3)l'altro che ho svolto volevo solo chiedere conferma..dice che lanciando 20 volte una moneta ottengo 16 volte testa, con probabilità di Ho =0.5 e probabilità di H1 =0.9. Accetteresti l'ipotesi H0? io ho calcolato alfa livello di significatività e poi la potenza del test 1-beta. Basta dire che p di H0 è maggiore di alfa per rifiutare l'ipotesi?

vi ringrazio in anticipo.
Raffaeleee11
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda tommik » 15/07/2019, 09:55

1) no, non si può risolvere senza avere la densità delle variabili o almeno della variabile $X$. Visto il punto 2) è facile intuire che la $X$ sia la stessa uniforme in $(-1;1)$

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2) per calcolare media e varianza di una funzione basta usare la definizione

$mathbb{E}[g(X)]=int_(-oo)^(+oo)g(x)f(x)dx$

$V[Y]=mathbb{E}[Y^2]-mathbb{E}^2[Y]$

A conti fatti troverai:

$mathbb{E}[Y]=1/3$

$V[Y]=4/45$

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Il terzo è molto interessante perché si presta a diverse considerazioni.

Il sistema è un sistema di ipotesi semplici....ergo il problema si risolve utilizzando il Lemma di Neyman-Pearson

Il livello di significatività $alpha$ non può essere "calcolato": è l'unico dato che deve essere imposto dal ricercatore. Se nessuno te lo ha fornito vuol dire che lo devi imporre tu, oppure puoi risolvere calcolando il p-value del test e riportare le conclusioni (che in questo caso portano ad una chiara decisione...)

La regione di rifiuto è data da

$(L(ul(x)|H_0))/(L(ul(x)|H_1))<k$

Ovvero nel tuo caso

$0.5^20/(0.9^(Sigmax)*0.1^(20-Sigmax))<k rarr " qualche calcolo " rarr Sigma x>=k^*$

e quindi si rifiuta $mathcal(H)_0$ a livello $alpha$ se e solo se

$mathbb{P}{Sigmax>=k^*|p=1/2}=alpha$

Ora si possono seguire due strade: Utilizzare una gaussiana, dato che $np=10>=5$ (che ti lascio per esercizio) oppure calcolare il valore esatto del p-value con la binomiale seguente

(click per ingrandire)
Immagine

Ti ricordo che il p-value del test è la probabilità di ottenere un risultato uguale o più estremo di quello effettivamente osservato (16 teste su 20 lanci).
Si vede bene che il pvalue (somma delle probabilità dentro al cerchio rosso) è di circa lo $0.6%$ per cui rifiuto l'ipotesi di lavoro anche ad un livello $alpha=1%$ che è un livello di alta significatività

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Infine, le dolenti ma necessarie note
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Raffaeleee11 ha scritto:Raga il professore mi ha dato quattro esercizi di statistica,


1) Raga??? ma pensi di essere al bar? Siamo in un forum di Matematica, frequentato da professori, ricercatori e comunque persone molto più anziane di te: è richiesto un minimo di rispetto per le persone e di conseguenza anche un linguaggio più adeguato...oltre che il rispetto del Regolamento

2) Le formule vanno scritte con l'apposito compilatore

3) E' necessario inserire un topic per ogni esercizio ed ogni esercizio va corredato da una bozza di soluzione che evidenzi TUTTI i tuoi sforzi per superare gli ostacoli

GRAZIE
tommik
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda Raffaeleee11 » 15/07/2019, 11:38

Chiedo scusa per la forma, preso dall'esame e dalla risoluzione degli esercizi, non ho badato a quest'ultima.
Riguardo agli esercizi, ho ancora qualche dubbio..purtroppo è un corso che ho seguito 1 anno fa, molte cose non le ricordo, e mi è difficile capirle nell'immediato.
In riferimento all'esercizio due, non sono riuscito a calcolare la media e quindi la varianza perchè non ho densità della funzione. Ho sempre risolto esercizio del tipo: y=(3+a)x, f(x)=2(1-x), quindi mi risultava facile sostituire la f(y) nella formula e calcolarmi E[x] e Var[x]. Nell'esercizio in questione, invece, non so come comportarmi.
Riguardo l'esercizio 3, è la stessa cosa svolgerlo in questo modo? Ovvero calcolare la Pr(≥16), condizione di rigetto, come:
Pr(y≥16)= $((20),(16))$ * $0.5^16$ *$(1-0.5)^4$ + ...+ $((20),(20))$ * $0.5^20$ *$(1-0.5)^0$= 0.006
E poi calcolare β= Pr(y$<$16)= 1-Pr(y≥16).
Pr(y≥16)= $((20),(16))$ * $0.9^16$ *$(1-0.9)^4$+...+$((20),(20))$ * $0.9^16$ *$(1-0.9)^4$=0.96
e quindi β=0.04. In classe fu svolto così, però non so che a che conclusione giungere.

Ringrazio anticipatamente per le ulteriori delucidazioni.
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda tommik » 15/07/2019, 12:07

Se leggi bene cosa ho scritto vedi che l'esercizio 3) è esattamente come l'ho svolto io...Calcolando $mathbb{P}[X>=16]$ con la binomiale (io ti ho fatto anche il grafico e ti ho circolato di rosso le probabilità che hai calcolato tu...) trovi una probabilità di $0.006$ ovvero lo $0.6%$

Questa probabilità si chiama pvalue e va confrontata con il livello di significatività $alpha$. Di solito si hanno due livelli di significatività:

$alpha=5%$ (test significativo)

$alpha=1%$ (test molto significativo)

Si rifiuta $mathcal(H)_0$ SE E SOLO SE il pvalue è inferiore ad $alpha$.

Nel tuo caso il pvalue è meno dell'1% quindi è logico rifiutare dato che il test è molto significativo. Per completezza devo sottolineare che esistono anche altri metodi per decidere ma in questo caso viene comodo il metodo del pvalue....tutto il resto lo puoi trovare sui testi e sui numerosi esempi risolti qui sul forum (molti da me)


Il calcolo della potenza così come quello dell'errore di seconda specie può servire, se richiesto, ma non serve per decidere..

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esercizio 2
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Per il calcolo di media e varianza di $Y=X^2$ basta usare la formula che ti ho detto; la densità della uniforme è $f=1/(b-a)=1/2$

Quindi $mathbb{E}[X^2]=int_(-1)^(1)x^2*1/2dx=1/3$

Per la varianza usa la formula che ti ho indicato.


Soluzione alternativa: non è difficile calcolare anche la distibuzione di $Y=X^2$ e dopo calcolare

$mathbb{E}[Y]=int_0^1 sqrt(y)/2 dy=1/3$

Per la varianza stessa cosa....

PER FAVORE non postare più un topic con più esercizi perché altrimenti il forum diventa illeggibile. Gli esercizi che tu posti non sono a tuo uso e consumo ma devono servire anche ad altri studenti interessati. Usando la funzione "cerca" se posti esercizi diversi in uno stesso topic si crea una grande confusione.
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda Raffaeleee11 » 15/07/2019, 12:45

Perfetto, ora è tutto chiaro, grazie mille per la disponibilità e chiarezza.
Di conseguenza per il primo esercizio posso risolverlo considerando sempre v.a. uniforme?
E[Y] e Var[Y] identiche alll'esercizio 2, mentre per E[Z] e Var[Z] :
E[Z]=E[$x^3$]= $\int_-1^1 1/2$x^4$ dx$
E poi stessa cosa per la varianza? oppure deve essere specificato per forza l'intervallo di riferimento, e soprattutto che ho a che fare con una v.a. uniforme?
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda tommik » 15/07/2019, 13:01

Raffaeleee11 ha scritto:Di conseguenza per il primo esercizio posso risolverlo considerando sempre v.a. uniforme?


Questo non lo posso sapere....direi comunque di sì anche perché così è istruttivo

$mathbb{E}[X^3]=int_(-1)^(1)x^3/2 dx=...=0$

e quindi

$V[X^3]=mathbb{E}[X^6]=int_(-1)^(1)x^6/2 dx=...=1/7$

Puoi anche provare a calcolare la distribuzione di $Z=X^3$ che viene

$f_Z(z)=z^(-2/3)/6mathbb{1}_(((-1;0) uu (0;1)))(z)$

e calcolare media e varianza come saprai sicuramente fare.


Ecco ora questo topic lo possiamo anche buttare perché se uno ci guarda dentro non capisce più di cosa si stia parlando....prova di ipotesi calcolo degli indici di una variabile, trasformazione di variabili......
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Re: Esercizio di Statistica

Messaggioda Raffaeleee11 » 15/07/2019, 14:58

Grazie mille, mi scuso per il topic, provvederò la prossima volta a separare i vari quesiti.
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