Esercizio di Statistica Inferenziale

Messaggioda maghat » 15/07/2019, 10:51

Buongiorno a tutti, devo sostenere l' esame di statistica all' università e avrei un problema con gli esercizi di statistica inferenziale.
Un esercizio assegnato in un compito era:
Dato un test a risposta multipla dove ogni domanda ha 5 possibili risposte:
a) se ci sono 25 domande , trovare la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 9 domande scegliendo a caso le risposte.
b) valutare, mediante il p-value,l' evidenza che uno studente che risponde correttamente a 9 domande su 25 non abbia scelto a caso le risposte.
c) Stimare il numero minimo delle domande da somministrare per avere una probabilità di più del 2,5% di rispondere a più di 8/25 delle domande scegliendo a caso le risposte.
Insieme all' esercizio erano allegate anche le soluzioni del prof.:
https://drive.google.com/file/d/1cbDqEV0YLPBpkxspFP5J5XGppirzL43n/view?usp=sharing
Il mio problema è che nonostante le soluzioni non riesco a capire come l' esercizio sia svolto.

a) Considerando Sn la distribuzione del numero di risposte esatte in n domande, calcoliamo P(Sn>=9).
Non capisco però come avviene l' appossimazione di Sn ad una normale , e poi ad una normale standard.
Una normale dovrebbe avere come parametri (μ, σ^2), quindi facendo i calcoli, μ=5 perchè p=1/5 * n=25 quindi μ=p*n = valore atteso;
σ^2= p(1-p)/n = 4/5.
Sono numeri totalmente diversi da quelli delle soluzioni, dove si dice che la Normale non standard è N(n/5, 2n/5), poi standardizzandola il 9 diventa 8,5-5/2 per un motivo che non riesco a spiegarmi.
b) La quantità che interessa è il valore per cui p>1/5, cioè quando non si ci affida al caso, quindi H(0): p=1/5 mentre H(A)= p>1/5, non ho capito però come calcolare il p-value , in quanto non abbiamo nessun α per calcolare l punto critico.
Qualcuno potrebbe aiutarmi perfavore, ho fatto questa parte sul libro più volte ma non riesco a capire il procedimento per risolvere questi esercizi.
Grazie mille a tutti!
maghat
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Re: Esercizio di Statistica Inferenziale

Messaggioda tommik » 15/07/2019, 11:03

ci sono centinaia di esercizi del tutto simili sul forum tutti completamente risolti e commentati (molti da me). Uno proprio circa un'ora fa qui.

Giusto per riassumere la questione, il teorema del limite centrale, nella versione di De Moivre- Laplace afferma che, per $n$ sufficientemente grande,

$(Sigma_i x_i -np)/sqrt(p(1-p)n)~ Phi$

Ora nel tuo caso hai

$n=25$

$p=1/5$

$(1-p)=4/5$

e quindi otterresti che

$(Sigma_i x_i -5)/sqrt(4)~ Phi$

il p-value, PER DEFINIZIONE, è la probabilità di ottenere, sotto $mathcal(H)_0$, un valore uguale o più estremo di quello effettivamente osservato; per calcolarlo non è assolutamente necessaria la conoscenza di $alpha$. Una volta calcolato il pvalue, lo si confronta con un fissato $alpha$ per prendere una decisione.

Il pvalue quindi è

$mathbb{P}[Sigma_i x_i>=9|p=1/5]=mathbb{P}[Z>=(9-5)/2] rarr " fattore di correzione " rarr mathbb{P}[Z>=(8.5-5)/2]=1-Phi(1.75)=0.04 $

Perché il prof ci mette (giustamente) 8.5 e non 9? perché usa un fattore di correzione (lo chiede espressamente nella traccia che tu purtroppo hai riportato malamente), anche quello ben spiegato sul forum, ad esempio qui.

A questo punto, avendo trovato un pvalue di circa il $4%$ il prof afferma che il test è "moderatamente significativo" perché lo confronta mentalmente con un ipotetico $alpha=5%$ che è il livello a cui il test risulta significativo. Se lo confrontasse con un $alpha=1%$ deciderebbe che il test non è "molto significativo"...insomma rifiuta l'ipotesi al $5%$ ma non la rifiuterebbe al $1%$ ed infatti afferma che "non siamo al riparo da dubbi" ma che vi è una moderata significatività.

Nell'esempio linkato qui ti ho risolto più o meno lo stesso esercizio con il calcolo esatto della binomiale e non come ha fatto il tuo prof , con un'approssimazione gaussiana.

Dopo aver ben studiato la teoria e la soluzione del prof puoi provare anche tu a calcolare il pvalue esatto come ti ho spiegato che è molto utile....

Ecco il pvalue esatto che viene $4.68%$, comunque significativo, essendo $"pvalue"<5%$

(cliccami per ingrandirmi)
Immagine

Punto c): Dato che non hai fatto richieste di aiuto immagino che sia chiaro.

@maghat: per favore, le formule, siamo in un forum di Matematica, anzi NEL forum di Matematica e non su answers.it

I testi e le soluzioni vanno scritti per esteso, senza limitarsi ad inserire foto, link o immagini (art 3.6 del nostro Regolamento)

grazie
tommik
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Re: Esercizio di Statistica Inferenziale

Messaggioda maghat » 17/07/2019, 09:55

Ciao, grazie mille per l' aiuto.
Non ero riuscito a trovare quella formula per la normale da nessuna parte, ora penso di aver capito come fare questo tipo di esercizi.
Ho capito anche come funziona il p-value ,che non mi era molto chiaro.
Chiedo scusa per aver violato le regole del forum, e per non aver riportato la traccia in modo esaustivo, non succederà più.
Grazie ancora!!
maghat
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