Funzione di densità

[Minotauro]

Buongiorno ho bisogno di una correzione riguardo un esercizio sulla funzione di densità:

$ f(x)= { ( kx if 0<=x<1 ),( 2-kx if 1<=x<=2 ),( 0 anywhere ):} $

1) Si determini il valore della costante $ k $ in modo che $ f(x) $ sia la funzione di densità della variabile casuale $ X $ e se ne tracci il grafico.
2) Si ricavi la funzione di ripartizione e i quartili di $ X $
3) Si calcoli il valore atteso di $ X $

$ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ $

1) Soluzione di $ k $:

$ int_(0)^(1) kx dx + int_(1)^(2) 2-kx dx = 1 $

$ 1/2k + (4-2k)-(2-1/2k)= 1 $

$ 1/2k+4-2k-2+1/2k=1 $

$ 2-k=1 $

$ k=1 $

2) Funzione di ripartizione di $ X $

$ F(x)={ ( 0 if x<0 ),( int_(0)^(x) tdt=x^2/2 if 0<=x<1 ),( int_(0)^(1) tdt + int_(1)^(x) 2-tdt = 2x-x^2/2-1 if 1<=x<=2 ),( 1 if x>2 ):} $

3) Valore atteso di $ X $

$ E(x) = int_(-oo )^(+oo ) xf(x) dx = int_(0)^(1) x^2 dx + int_(1)^(2) 2x-x^2 dx = $

$ = 1/3+(4-8/3)-(1-1/3)= $

$ = 1/3+4/3-2/3=1 $


Fin qui sono riuscito a calcolare ciò che l'esercizio mi ha chiesto, ma per quanto riguarda il grafico e i quartili non riesco a proseguire perché non so come calcolarli

[tommik]

E' tutto perfetto.....

La funzione di densità viene così:

$f_(X)(x)={{: ( x , ;" se "0<=x<1 ),( 2-x , ;" se "1<=x<=2 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$

fai il grafico e vedi che è una distribuzione triangolare.

(click per ingrandire)


I quartili sono i valori della x per i quali la $F_(X)(x)$ vale $0.25;0.5;0.75$, ovvero

$q_1=F_X^(-1)(0.25)$

$q_2=F_X^(-1)(0.50)$

$q_3=F_X^(-1)(0.75)$

quindi per calcolarli non hai che da invertire la Funzione di Ripartizione che hai già correttamente calcolato.

E' utile osservare che il secondo quartile si chiama anche Mediana.



benvenuto nella Community.

[Minotauro]

Ti ringrazio immensamente

[Minotauro]

Ho calcolato così:

$ F(x)=x^2/2+2x-x^2/2-1 $

$ F(0,25)= (0,25)^2/2+2(0,25)-(0,25)^2/2-1=-0,5 $

$ F(0,5)= (0,5)^2/2+2(0,5)-(0,5)^2/2-1=0 $

$ F(0,75)= (0,75)^2/2+2(0,75)-(0,75)^2/2-1=0,5 $

Credo di aver sbagliato comunque

[tommik]

prendi il grafico della funzione di densità....da cui vedi subito che, essendo simmetrica ed unimodale, avrà la mediana uguale alla media (e anche alla moda) e quindi $q_2=F_X^(-1)(0.5)=1$

Ora dovrebbe essere chiaro che il primo quartile si trova a sinistra della mediana....ovvero dove la FdR vale¹

$F_X(x)=x^2/2$

Per trovare il primo quartile ti basta risolvere

$x^2/2=1/4 rarr x=sqrt(2)/2$

mentre per trovare il terzo quartile, con analogo ragionamento risolvi

$2x-x^2/2-1=3/4$

che, con qualche semplificazione, porge subito

$2x^2-8x+7=0$

trovi due radici

$x_1=2+sqrt(2)/2$

$x_2=2-sqrt(2)/2$

ma devi scartare $x_1$ perché è fuori dal supporto della variabile....

chiaro ora?

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Note

1. è la F che hai calcolato tu eh..... ↑

[Minotauro]

Sì tutto chiaro grazie ancora