Statisticamente si è valutato che il tasso di omicidi annuale negli Stati Uniti è di 0,5 ogni 100.000 abitanti.
In un na cittadina di 13.000 abitanti nell'ultimo anno, sono stati registrati 2 omicidi. Ci sono ragioni per credere che questa cittadina sia meno sicura rispetto alla media nazionale?
Ovviamente, la valutazione più intuitiva è semplicemente $2/13000 >0.5/100000$, e quindi istintivamente direi che la città in questione è meno sicura della media nazionale. Tuttavia, visto il contesto in cui questa domanda mi è stata posta, mi sembra strano che la risposta possa essere semplicemente questa, e quindi ho provato a fare delle considerazioni probabilistiche.
la probabilità di avere un omicidio è $p=0.5/100000$, il numero di abitanti è $n=13000$, quindi ho pensato di utilizzare una distribuzione binomiale, dove la v.a. X è il numero di omicidi nella cittadina in questione.
\( X\sim B(n,p) \)
\( p_X(k)=\mathbb{P}(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\;\; \)
\(p_X(2)=\begin{pmatrix}13000\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\frac{0.5}{100000}\right)^2\cdot\left(1-\frac{0.5}{10000}\right)^{12998}\;=\;0.001979\;\simeq\;0.2\%\)
Oppure, visto che $p$ è "piccola" ed $n$ è relativamente grande, si può utilizzare una Poisson con $\lambda=n*p$ che mi da un risultato analogo:
\(Y\sim P(\lambda)\)
$\lambda = n*p = 0,065$
\( p_Y(k)=\mathbb{P}(Y=k)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^k}{k!} \)
\( p_Y(2)=e^{-0,065}\cdot\frac{\left(0,065\right)^2}2=\;0.001979\;\simeq\;0.2\% \)
Quindi, in una cittadina di 13.000 abitanti qualsiasi, la probabilità di avere 2 omicidi in un anno è di circa lo $0,2%$, questo, seguendo il mio ragionamento, mi fa pensare che la cittadina in questione ha un livello di sicurezza più basso rispetto alla media nazionale. Quindi mi sembra di aver fatto tantissimi calcoli (non io personalmente, parlo di Python
) per ottenere un risultato ovvio.Vorrei avere qualche vostro parere, cosa ne pensate?
