Ricavare spazio di probabilità di un v.c discreta

[Cantor99]

Salve, avrei un dubbio sulle variabili aleatorie discrete. So che vale il seguente teorema

Sia assegnata una successione crescente di reali $\{x_{n}\}_{n}$ e una successione $\{p_{n}\}_{n}$ di reali positivi tale che valga la condizione di normalizzazione, cioè
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}p_{n}=1
\]
Allora esistono uno spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e una variabile aleatoria $X: \Omega \to \mathbb{R}$ con spettro $S_{X}=\{x_{n}\}_{n}$ per i quali, per ogni $n\in \mathbb{N}$, si abbia $p_{X}(x_{n})=p_{n}$

In termini pratici è sempre possibile trovare lo spazio di probabilità?

Ad esempio, in riferimento alla variabile binomiale https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_binomiale, chi può essere lo spazio di probabilità?

Grazie in anticipo

[tommik]

Nel caso in oggetto la misura di probabilità è dominata da una misura $mu$ $sigma-"finita"$ e quindi tale misura può essere descritta mediante la funzione di densità $p(x|theta)$ rispetto a questa misura. Di conseguenza lo spazio $(Omega, mathcal(F), mathbb(P))$ può essere scritto nella forma semplificata

$(X^((n)); ((n),(x))theta^x(1-theta)^(n-x); theta in [0;1])$

Dove $X^((n))$ indica l'insieme dei risultati, ovvero tutte le n-uple di "uni e zeri" possibili

....domanda strana, dato che si trova tutto sui libri

Edit: esempio: lancio di due monete regolari

$X^((n))={00,01,10,11}$

$p(x|theta)=((2),(x))(1/2)^2$; $x=$ somma degli "uni" di ogni possibile realizzazione sperimentale

$theta=1/2$

[Cantor99]

Grazie per la risposta. Non ho ben capito chi è la $\sigma$-algebra. Invece, la misura di probabilità l'hai definita solo a partire dalla posizione sugli eventi elementari?

In ogni caso, la cosa che non mi è completamente chiara è il procedimento generale di costruzione di una v.a discreta $X$. Mi rifaccio al caso della binomiale per semplicità e espongo quanto ho tentato di fare.
Parto da una successione crescente $\{1,...,n\}$ e da una successione di reali positivi $\{((n),(k))p^{k}(1-p)^{n-k}\}$ (che nel mio caso sono date dall'aver definito $X$ come la variabile aleatoria che conta il numero di successi di $n$ prove identiche con probabilità all'occorrenza $p$). Arrivo subito a dire che $\Omega=\{0,1\}^{n}$. Per quanto la $\sigma$-algebra, considererei quella generata dagli eventi
\[
S_{k}=" \mbox{k prove su n hanno avuto successo} " \qquad k=1,...,n
\]
Ora la misura di probabilità $\mathbb{P} : \mathcal{F}\to \mathbb{R}$ potrebbe essere definita ponendo $\mathbb{P}(S_{k})=((n),(k))p^{k}(1-p)^{n-k}$ per ogni $k$.

Il ragionamento è corretto? Oppure prima devo costruire lo spazio di probabilità e poi $X$?

Ps: almeno fin dove sono arrivato io, non viene citata introdotta la variabile binomiale e in alcuni esempi definisce prima lo spazio e poi introduce $X$ altre volte definisce $S_{X}$ e $\{p_{n}\}_{n}$ senza parlare della terna

[tommik]

In ogni caso, la cosa che non mi è completamente chiara è il procedimento generale di costruzione di una v.a discreta $X$.

La domanda che dovresti porti è "a cosa serve costruire una variabile aleatoria"....serve a creare un modello (quindi una struttura piuttosto semplice) che descriva ciò che accade o può accadere nella realtà e quindi occorre necessariamente rifarsi ad un esperimento.

Dalla teoria sai che lo spazio di probabilità è una terna $(Omega,mathcal(F),mathbb(P))$ dove $Omega$ è lo spazio dei risultati (ciò che può verificarsi nella realtà), $mathcal(F)$ è una opportuna sigma algebra (definita dal ricercatore a seconda di ciò a cui è interessato) e che deve comunque essere in grado di rendere misurabile lo spazio $Omega$

Detto in modo diverso, $mathcal(P)$, che è la chiave di tutto il modello, è una misura di probabilità sullo spazio misurabile $(Omega,mathcal(F))$

Tutto ciò in teoria, ma in pratica?

In pratica occorre partire da un esperimento e definire ciò a cui siamo interessati.

Esempio: Lanciamo un dado a sei facce e siamo interessati all'evento "esce un numero pari"

Lo spazio dei risultati è

$Omega={1,2,3,4,5,6}$

La sigma algebra? Potresti prendere tutti i $2^6$ sottoinsiemi possibili ma è uno spreco inutile.....basta che $mathcal(F)$ sia chiusa rispetto alle operazioni di Unione e Complementazione e quindi, essendo interessato all'evento "esce un numero pari" prendo come Sigma algebra la seguente famiglia

$mathcal(F)={emptyset,{2,4,6},{1,3,5};{1,2,3,4,5,6}}$

Ad ogni elemento di $mathcal(F)$ associo un numero compreso fra zero e uno che rispetti i tre assiomi della probabilità e stop.

La domanda iniziale era diversa: come definire uno spazio di probabilità su una binomiale....e mi pare di aver risposto in maniera esauriente....

Opinione personale: non farti troppi problemi su questi dettagli, vai avanti a studiare, fare esercizi e vedrai che il tutto ti sembrerà estremamente logico. Inoltre sul forum ci sono già stati diversi topic che puoi consultare per chiarirti meglio le idee, basta usare la funzione "cerca".

saluti