Ecco come viene la funzione di ripartizione
$F_Y(y)={{: ( 0 , ;y<-3 ),( (y+3)^2/2^8 , ;-3<=y<5),( 1/4+(y-5)/16 ,; 5<=y<13 ),( 1-(21-y)^2/2^8 , ;13<=y<21 ),( 1 , ;y>=21 ) :}$
...Non è difficile ma occorre prestare un minimo di attenzione; il fatto che l'integranda sia costante ti avvantaggia dato che l'integrale doppio è pari all'area di integrazione per l'integranda.
SpiegazioneTesto nascosto, fai click qui per vederlo
La prima cosa da fare è calcolare il supporto della variabile $Y=X_1+2X_2$. Considerato il dominio in cui variano $X_1,X_2$ non è difficile rendersi conto che $y in[-3;21]$
La densità congiunta è $f_(X_1 X_2)(x_1,x_2)=1/64$ sul quadrato $[0;8]xx[-3;5]$. Facendo scorrerci all'interno la retta $X_1=y-2X_2$ [dove y lo considero un parametro], nell'intervallo $y in [-3;5)$ l'area sottesa alla retta è un triangolo di base $(y+3)/2$ e altezza $(y+3)$.
Quindi qui la FdR viene $(y+3)/2xx(y+3)xx1/2xx1/64$. Quando $y=5$ la FdR viene $F_Y(5)=1/4$
Andando avanti trovi $F_Y(5)$ più un parallelogramma di area $(y-5)xx4$ e quindi la FdR sarà
$F_Y(y)=1/4+(y-5)/16$
Nell'ultimo tratto, ovvero quando $y in [13;21)$ basterà calcolare l'area parametrica complementare al triangolino in alto a destra, ovvero $[64-(21-y)^2/4]$ e moltiplicare il tutto per la densità $f=1/64$.
Fine....per valori $y<-3 rarr F_Y=0$ mentre per valori $y>=21 rarr F_Y=1$
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Che studi fai?
Questo è un esercizio davvero inutile, senza alcun significato né di Probabilità né di Statistica.
E' un ammasso informe di conti che serviva probabilmente 5000 anni fa per formare i geometri egizi che dovevano calcolare a mano il volume dei sassi necessari a costruire le piramidi....
