Esercizio Funzione di Ripartizione

[Samy21]

Grazie mille.
Mi sconforta sapere che nonostante lo studio intensivo delle dispense non riesco a risolvere facilmente esercizi semplici. Sicuramente devo studiare di più e meglio.

Comunque,stavo risolvendo questo esercizio:
"Sia X un n.a. con densità $f(x)=ke^(-ax)(1-e^(-ax))$ per $x>0$ e 0 altrove.
Determinare: a) la costante k, b) la funzione di ripartizione di X, c) $P(X>1)$."

Per risolvere il punto a) devo calcolare l'integrale tra 0 e + infinito della funzione densità e porre il risultato pari ad 1.
Così facendo ottengo come valore $k/(2a)=1$ cioè $k=2a$.

Punto b) sostituendo il valore di k appena trovato calcolo nuovamente l'integrale di $f(x)$ sempre tra 0 e + infinito ma quí sono certa di aver fatto qualche sbaglio dato che ottengo come valore 1.
Otterrei quindi che per valori di X positivi la funzione di ripartizione è 1 ed è 0 altrimenti.

Punto c) devo calcolare di nuovo l'integrale tra 2 (perché deve essere $X>1$) e infinito della funzione densità.
Quest'ultimo caso potrei anche risolverlo considerando $P(X>1)=1-P(X<=1)$ ma non dovrebbe cambiare più di tanto...

Grazie per l'aiuto.

[tommik]

Il testo dell'esercizio non è scritto come dovrebbe esserti stato proposto: quell'integrale che hai calcolato potrebbe anche non convergere....basta che $a<0$

Bisogna quindi specificare anche che $a>0$

Per la funzione di ripartizione....ti viene uno ovviamente perché sbagli la definizione; in questo caso devi fare così:

$F_X(x)=int_0^(x)f(t)dt$

Questa è una particolare funzione che si chiama "funzione integrale", la si indica sempre con la lettera maiuiscola e la variabile sta lassù, all'estremo di integrazione....mentre dentro l'integrale c'è una variabile di comodo che sparirà una volta integrata¹

...se integri fino a $+oo$ è ovvio che ti venga uno.....l'hai posto tu $k=2a$ in modo che l'integrale su tutto $RR^+$ faccia uno.... o no?

Punto c) devo calcolare di nuovo l'integrale tra 2 (perché deve essere $X>1$) e infinito...

EHHHH????

la distribuzione è continua.....devi calcolare $int_1^(+oo)f(x)dx$ oppure (ed è molto più comodo) nell'altro modo che hai descritto...

Con una distribuzione continua che sia $X>=1$ oppure $X>1$ è la stessa cosa perché la distribuzione ha misura nulla in ogni punto....in pratica la probabilità di qualunque punto è zero ed è per quello che si introduce il concetto di "funzione di densità di probabilità"

Per la prossima volta, per favore, posta un nuovo topic per ogni esercizio....grazie

Ora questo lo divido io

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Note

1. mi scuso con la platea di matematici per la banalizzazione della spiegazione... ↑

[Samy21]

Il testo dell'esercizio non è scritto come dovrebbe esserti stato proposto: quell'integrale che hai calcolato potrebbe anche non convergere....basta che $a<0$

Bisogna quindi specificare anche che $a>0$

Nel testo del compito non è scritto nulla riguardo la costante a,forse è stata una svista della prof o, più probabile, voleva che indicassimo noi stessi il valore possibile.

...se integri fino a $+oo$ è ovvio che ti venga uno.....l'hai posto tu $k=2a$ in modo che l'integrale su tutto $RR^+$ faccia uno.... o no?

Si, mea culpa!

Io ottengo questo valore
$int_0^x 2ae^(-at)(1-e^(-at))dt= -2 e^(-at)|_0^x+ e^(-2at)|_0^x=e^(-2ax)-2e^(-ax)+1$
Quindi posso concludere che questo è il valore della funzione di ripartizione per $x>0$ ed è nulla altrimenti. Giusto?

EHHHH????

Chiedo umilmente perdono per questa sciocchezza scritta.

Ho effettuato i calcoli e nel primo caso ottengo
$int_1^(+oo)f(x)dx= 2e^(-a)+e^(-2ax)$


Mentre con il secondo "metodo" ottengo
$P(X>1)=1-P(X<=1)=1-int_(-oo)^1f(x)dx= 1+ 2e^(-a)-e^(-2ax)$

Per la prossima volta, per favore, posta un nuovo topic per ogni esercizio....

Scusami
Grazie per la pazienza!

[tommik]

rivedi i calcoli; in entrambi i casi ottieni $mathbb{P}[X>1]=2e^(-a)-e^(-2a)$

Nel secondo caso devi fare $1-F_X(1)$, cioè devi solo sostituire il valore $x=1$ nella F non devi calcolare l'integrale (che sarebbe lo stesso integrale del primo caso)

La F mi sembra giusta

[Samy21]

Ahhhh certo! Adesso tutto torna, grazie mille davvero!!