Esercizio probabilità condizionata

[Samy21]

Salve a tutti,
Questo è il testo dell'esercizio che sto trattando:
La funzione di sopravvivenza di un numero aleatorio continuo X non negativo è $S(X)=e^(-4x)$, $x>=0$.
Calcolare la densità $f(X)$ per ogni $x>=0$,e la previsione $m$ di X.
Inoltre, fissati due valori positivi $x_1$,$x_2$ con $x_1<x_2$, calcolare la probabilità $p$ dell'evento condizionato $(X<=x_2|X>=x_1)$.

La funzione densità $f(x)$ l'ho derivata dalla funzione di ripartizione ricavata a sua volta dalla funzione di sopravvivenza ricordando che $S(x)=1-F(x)$ ottengo che $F(x)=1-e^(-4x)$.
$f(x)=d/(dt) F(x)= 4e^(-4x)$ per $x>=0$.
Riguardo la previsione noto che la distribuzione è esponenziale e quindi sappiamo che la previsione è data dal reciproco del valore $lambda$ ossia $m=1/4$.
Non sono sicura su questa ultima cosa perché mi sembra troppo semplice come risultato.

I veri problemi arrivano nella seconda richiesta dell'esercizio ossia quella che richiede la probabilità condizionata. Io userei la definizione e quindi scriverei $P(X<=x_2|X>=x_1)= (P(X<=x_2 nn X>=x_1))/(P(X>=x_1))$

Forse andrebbe usata la regola di mancanza di memoria ma onestamente non saprei come adoperarla in questo caso.

Grazie.


EDIT: Ho provato a risolvere in questo modo.
$P(x_1<=X<=x_2)= \int_(x_1)^(x_2) 4e^(-4t) dt = e^(-4x_1) - e^(-4x_2)$

$P(X>=x_1)= \int_(x_1)^(+oo) 4e^(-4t) dt = e^(-4x_1)$

Effettuando il rapporto di queste due quantità ottengo $1-e^[4(x_1+x_2)]$.
È giusto?
Grazie!

[tommik]

tutto giusto...tranne un errorino nell'ultimo rapporto...peccato!

nota infatti che:

$e^(-4x_2)/e^(-4x_1)=e^(-4(x_2-x_1))$

tu invece hai messo il + all'esponente

[Samy21]

tutto giusto...tranne un errorino nell'ultimo rapporto...peccato!

Vero! Mannaggia! Grazie mille per la pazienza!