Esercizio su prova distribuzione uniforme

[Samy21]

Se $X$ ha distribuzione uniforme in $[0,1]$ allora
a) provare che $Y=aX+b$ ha anche distribuzione uniforme
b) determinare la distribuzione di $Y=3X^2+2X$

Mi verrebbe da dire che per risolvere il punto a) dovrei provare che Y ha come funzione di densità $f(y)=1/(b-a)$ per $y in [0,1]$ e 0 altrove ma non ne sono sicura.

Nel caso di $X$ sappiamo che in quell'intervallo ha $f(x)=1$ mentre è 0 altrove.

[Samy21]

Quanto fa $Y$ se $X=1$? e se $X=0$?

$Y=a+b$ e $Y=b$

Da questo posso concludere che la distribuzione non è uniforme?
Cioè cosa si deve fare generalmente per dimostrare che si tratta di questo tipo di distribuzione?

Comunque la trasformazione è monotona quindi puoi impostare l'uguaglianza solita $\mathbb{P}(Y\le y)= \mathbb{P}(aX+b\le y)=...$ e poi derivare.

Questo per trovare la funzione densità?

Scusami per le domande banali e grazie per la pazienza.

[Samy21]

Sto ricavando la funzione di ripartizione di $Y$: scrivi $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\ley)...$, scrivi $Y$ in termini di $X$ e troverai $F_Y$, che potrai derivare per trovare la densità di $Y$.

Si intendevo dire che ricavavi la $F_y$ per poter poi derivare da quella la funzione densità $f_y$ e concludere quindi che la distribuzione è uniforme (se lo è).
Ma riguardo l'intervallo quindi scrivo semplicemente in relazione ad a e b?

Grazie