Esercizio calcolo previsione distr esponenziale

[Samy21]

Un numero aleatorio $X in [a,+oo)$ ha in tale intervallo una densità $f(x) = be^(−x)$.
a)Calcolare la costante $b$ e la previsione $m$ di $X$.
b)Calcolare, inoltre, le costanti $c$ e $d$ tali che il numero aleatorio $Y = cX + d$ abbia distribuzione esponenziale di parametro $λ = 1/2$.

a) $\int_a^(+oo) b e^(-x)dx= -b e^(-x)|_a^(+oo)=be^(-a)=1$ e segue che $b=e^a$.
La previsione $m$ mi verrebbe di dire che si può trovare considerando che la distribuzione che abbiamo è esponenziale pertanto $m=1/\lambda$ e nel nostro caso $\lambda=a$ però così mi sembra troppo 'facile'.
Altrimenti dovrei calcolare $\int_a^(+oo) x e^(-ax)dx$ cosa che ho fatto ma credo di aver sbagliato qualche conto per la stanchezza. Il risultato mi viene $(1+a^(-2))e^(-a^2)$.

b) In questo caso dovrei trovare che $f_Y= 1/2 e^(-1/2x)$ per $x>=0$ e nullo altrimenti.
Per fare questo dovrei ricavare X dalla definizione di Y e sostituirla nella densità attualmente in mio possesso?

Grazie per l'aiuto.

[tommik]

a) $b=e^a$ ok

quindi la densità di X è la seguente

$f_X(x)=e^(a-x)mathbb{1}_([a;+oo))(x)$

nota che è $a in RR$

Si tratta quindi di una esponenziale di parametro 1 traslata....di conseguenza, anche senza fare alcun conto, la sua media è $(a+1)$

Puoi fare bene in conti con l'integrale e trovarti con questo risultato.

b) trasformiamo la variabile X in Y con la consueta formula¹ ottenendo subito

$f_Y(y)=|1/c| e^(a-(y-d)/c)$

affinché tale $f_Y(y)=1/2e^(-y/2)$ si vede subito che deve essere

EDIT: fissato $a=hat(a) in RR$

${{: ( c=2 ),( d=-2hat(a) ) :}$

fine

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Note

1. $f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]|d/dy g^(-1)(y)|$ ↑