Esercizio calcolo probabilità v.a.

[Samy21]

Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con densità $f(x,y)=e^(-(x+y))$ se $x>0$,$y>0$, nulla altrimenti.
Calcolare:
a) $P(X>1)$,
b) $P(1<X+Y<2)$
c) il coefficiente di correlazione di $X$ ed $Y$.

a) Per poter calcolare la probabilità richiesta devo prima calcolare la funzione densità della funzione marginale, ossia $f_X$.

$f_X (x)= \int_0^(+oo) e^(-(x+y)) dy = e^(-x)$ per $x>0$.

$P(X>1)=\int_1^(+oo) e^(-x) dx= e^(-1)$

b) Sono un attimo in crisi perchè non so come impostare l'integrale, che in questo caso sarà doppio.
$\int_1^2 \int_1^2 f(x,y) dx dy$ non sono per niente sicura sugli estremi di integrazione...

c) In questo caso non so se X e Y sono indipendenti e non posso concludere che vale 1 perchè sono collegate da una relazione lineare quindi devo applicare la formula classica $ρ_(X,Y)=(COV(X,Y))/(σ_X⋅σ_Y)$

Grazie per l'aiuto.

[tommik]

c) In questo caso non so se X e Y sono indipendenti e non posso concludere che vale 1

ripensaci.....guarda come è fatta la distribuzione congiunta....


Per gli estremi di integrazione dell'integrale doppio devi fare un disegno

$int_0^1 e^(-x)dxint_(1-x)^(2-x)e^(-y)dy+int_1^2 e^(-x)dxint_(0)^(2-x)e^(-y)dy$

[Samy21]

ripensaci.....guarda come è fatta la distribuzione congiunta....

sono in relazione lineare ma sempre come esponente di una funzione $e^x$ quindi per questo ho concluso che non fosse uguale a 1 ma come sempre mi complico la vita.

Per gli estremi di integrazione dell'integrale doppio devi fare un disegno

Ho cercato di farlo, ovvero ho disegnato il grafico della funzione esponenziale e poi su questo dovrei delimitare i valori dati dalla condizione richiesta che nel mio caso sono x=1 e x=2, stesso discorso lungo l'asse delle ordinate.
Poi da quelli dovrei iniziare a valutare gli estremi ma ciao, mi perdo.

Comunque ho calcolato l'integrale
$int_0^1 e^(-x)dxint_(1-x)^(2-x)e^(-y)dy+int_1^2 e^(-x)dxint_(0)^(2-x)e^(-y)dy=e^(x-4)-2e^(x-2) + e^(x-1) - e^(-2) + e^(-1)$
Così posso concludere che $P(1<X+Y<2)=e^(x-4)-2e^(x-2) + e^(x-1) - e^(-2) + e^(-1)$ ?

Grazie.

[tommik]

Per quanto riguarda la distribuzione congiunta si vede subito che

$f(x,y)=e^(-x)e^(-y)=f(x)f(y)$

Ovvero la congiunta è il prodotto delle due marginali esponenziali di parametro 1. Quindi per la definizione di indipendenza, che ti ricordo essere

$X$ e $Y$ sono stocasticamente indipendenti SE E SOLO SE $f(x,y)=f(x)f(y)$

E' evidente l'indipendenza del caso in esame e quindi anche la non correlazione.

Per il calcolo dell'integrale doppio non è un problema di Statistica ma di analisi di base

Il dominio su cui integrare è questo

Essendo $mathbb{P}[1<X+Y<2]$ devi integrare fra le due rette $y<2-x$ e $y>1-x$ nel primo quadrante

(click per ingrandire)


e mi pare evidente come si faccia...dividi in due ed è banale

Per $0<x<1$ avrai $1-x<y<2-x$

Per $1<x<2$ avrai $0<y<2-x$

anche senza fare conti si vede che il risultato che hai trovato è sbagliato...deve venirti un numero compreso fra zero e uno...stai cercando una probabilità (spero tu non abbia risolto prima l'integrale in x e poi quello in y....dato che l'ho scirtto x-semplice)

EDIT: ho fatto i conti (molto velocemente, in aereoporto e sul retro del biglietto) ma mi viene $(2e-3)/e^2~~0.33$


saluti

[Samy21]

EDIT: ho fatto i conti (molto velocemente, in aereoporto e sul retro del biglietto) ma mi viene $(2e-3)/e^2~~0.33$

A me viene $(e^xe^3-e^xe^2+e-1)/(e^2)$ e non capisco perchè da te non appaiono i fattori $e^x$.

PS: Buon viaggio!!

[tommik]

Questo è il primo

$int_0^1 e^(-x)dxint_(1-x)^(2-x)e^(-y)dy=int_0^1e^(-x)[-e^(-y)]_(1-x)^(2-x)dx=$

$=int_0^1e^(-x)(e^(x-1)-e^(x-2))dx=int_0^1(e^(-1)-e^(-2))dx=1/e-1/e^2$

Questo è il secondo


$int_1^2 e^(-x)dxint_(0)^(2-x)e^(-y)dy=int_1^2e^(-x)[-e^(-y)]_(0)^(2-x)dx=$

$=int_1^2e^(-x)(1-e^(x-2))dx=int_1^2(e^(-x)-e^(-2))dx=[-e^(-x)-xe^(-2)]_1^2=1/e-2/e^2$

li sommi ed ecco il risultato

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secondo me stai facendo troppe cose insieme e ti perdi in un bicchier d'acqua.....keep calm!
Ora ti devo proprio salutare perché il mare mi aspetta.....

[Samy21]

Trovato l'errore.. Come sempre era una sciocchezza.

Grazie mille!

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Tra poco andrò a schiarirmi le idee con una passeggiata sul lungomare. Buona vacanza e grazie di tutto, il tuo aiuto è stato davvero prezioso!!