Esercizio vettori aleatori continui e indipendenza

[Samy21]

La densità congiunta di un v.a. continuo $(X,Y)$ è $f(x,y)=k(y-x)$ per $(x,y) in Q=[0,2] xx [2,4]$ , $0$ altrove. Calcolare:
a) la costante $k$
b) il valore di $x_0$ t.c. $P(X<=x_0)=1/2$
c) stabilire se $X$ e $Y$ sono stocasticamente indipendenti.


a) $\int_(-oo)^(+oo) f(x,y)dxdy=1$
$\int_2^4 \int_0^2 k(y-x)dxdy= 8k$
$k=1/8$

b) $f_X(x)=\int_2^4 k(y-x) dy= 1/4(3-x)$ per $0<x<2$
$P(X<=x_0)= \int_0^(x_0) 1/4(3-x) dx =1/4(3x_0 - x_0^2/2)$
ottengo $x_0=2$. Ho escluso il secondo valore $x_0= 5$ perchè fuori intervallo.

c) Devo provare che $f(x,y)=f(x)f(y)$.
$f_Y(y)=\int_0^2 k(y-x) dx = 1/4(y-1)$
$f(x)f(y)= 1/4(3-x) * 1/4(y-1) != 1/8(y-x)= f(x,y)$
pertanto concludo che non sono stocasticamente indipendenti.

C'è qualcosa di giusto?
Grazie mille per la pazienza!

[Samy21]

Mi sembrava infatti strano che fosse proprio 2 dato che da lì avremmo avuto il valore 1.
Non riesco a capire dove ho sbagliato perchè il risultato dell'integrale mi sembra giusto.

Grazie.

[Samy21]

Si vero, come al solito mi incarto su sciocchezze.

Grazie mille!!