Trovare distribuzioni marginali

[Samy21]

La densità congiunta del vettore $(X,Y)$ è $f(x,y)=e^(-y)$ per $0<=x<=y<oo$.
a) Trovare le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$.
b) Dei numeri aleatori $X$,$Y$,$Y-X$ quali sono a due e due indipendenti?

a) Trovare le distribuzioni marginali si intende calcolare $P(X<=0)$ e $P(Y<=0)$?
In ogni caso dovrei calcolare le densità marginali ma non saprei in quali intervalli.
Avevo provato con $f_X(x)=\int_0^y f(x,y)dy$ ma ottengo 1 e non credo sia un valore possibile.

Grazie

[Samy21]

Ora si tratta di scrivere bene questo integrale: tra cosa varia $y$?

Tra 0 e $+oo$?

L'indipendenza di $X$ e $Y$ si fa con gli occhi: il supporto della congiunta è un triangolo, quindi...

Dovrebbe essere un rettangolo per dire che sono indipendenti,quindi possiamo già concludere che non lo sono.

[Samy21]

varia tra $x$ e $+\infty$.

Ok quindi adesso devo calcolarmi le funzioni di densità marginali

$f_X(x)= \int_0^y e^(-t) dt = -e^(-t)|_0^y=1-e^(-y)$

Forse dovevo indicare $+oo$ invece di $y$ come estremo di integrazione?

Il dubbio mi sorge quando poi calcolo $f_Y(y)$

$f_Y(y)=\int_x^(+oo) e^(-t) ds= e^(-t)s|_x^(+oo)=-xe^(-t)$

però ho un pò di timore di creare casini tra x,y,s,t.

Grazie.

EDIT: forse risolverei semplicemente scrivendo $e^(-y)$ pure nella $f_Y$, vero?

[Samy21]

No, ci sono grossi problemi sugli integrali. Ti dico, guarda il primo integrale: $y$ varia tra $x$ e $+\infty$, perché metti come estremi $0$ e $y$?

Perchè sono stupida e ho messo gli intervalli di definizione di x e poi scrivo dy.
Mi sa che ho bisogno di un break.

Risolto il problema degli estremi di integrazione, il ragionamento dovrebbe essere corretto (spero).. Giusto?

Grazie mille per la pazienza.

[tommik]

vi ricordo che dovete controllare l'indipendenza a coppie. in particolare vi faccio notare che $X$ e $(Y-X)$ sono indipendenti.

una volta trovate le marginali dovreste anche identificarle come distribuzioni note....una esponenziale ed una $"Gamma"(2;1)$

[tommik]

sorry non dovevo sovrappormi

[Samy21]

Rieccomi, vi sono mancata?? Scherzo

Ho calcolato gli integrali, spero questa volta senza fare errori, e ottengo

$f_X(x)=\int_x^(+oo)e^(-t)dt=e^(-x)$ per $0<x<=y$

$f_Y(y)=\int_0^(y)e^(-s)ds=1-e^(-y)$ per $x<=y<+oo$


Riguardo all'indipendenza, abbiamo già provato che X e Y non sono indipendenti.
Adesso dovrei calcolare $f_(X,Y-X)$ e $f_(Y-X)$ per provare le altre due possibilità

$f_(X,Y-X)=f_X*f_(Y-X)$
$f_(Y,Y-X)=f_Y*f_(Y-X)$

sorry non dovevo sovrappormi

Il tuo intervento è sempre prezioso, tranquillo!

Grazie ragazzi per la pazienza, non immaginate l'aiuto che mi state dando!

[Samy21]

Per quanto la variabile di integrazione sia muta ti consiglio di mantenere i nomi originali per non fare confusione.

Adesso ho capito, era questo fin dal primo post che mi mandava in confusione. Grazie!

Ho provato a calcolare
$f_(X,Y-X)=\int_(y-x)^0 \int_(2x)^(+oo) e^(-y) dydx=-1/2(1-e^(-2(y-x)))$
Ma non credo sia giusto...

[Samy21]

Ciao arnett, perdona il ritardo nella risposta ma oggi a lavoro è stato impossibile 'ragionare'.

Comunque bisogna ancora trovare la densità di $V=Y-X$ e per farlo direi di procedere calcolando $F_V(v)=\mathbb{P}(V\le v)=\mathbb{P}(Y\le v+X)=...$

Io credo vada risolto mediante questo integrale

$\int_0^y \int_x^(v+x) e^(-y) dydx$

ma quella y del primo integrale non mi convince molto.

Trovata questa bisogna calcolare la densità congiunta di $(X, Y-X)$ e per farlo userei il teorema fondamentale di trasformazione con la trasformazione, diciamo $\Phi(X, Y)$, seguente: $\{(W=X),(V=Y - X):}$. Trasformazione assolutamente innocua, che piacevolmente ti dà $|J\Phi^{-1}|=1$ e il teorema fondamentale si risolve quindi in una banale sostituzione che ti lascio completare...

Non credo che riuscirò mai a capire e riuscire a svolgere un esercizio di questo tipo quindi alzo bandiera bianca!
(Perlomeno finchè non ci sbatto per bene la testa nella parte di teoria relativa a questo argomento. )

Grazie sempre per l'aiuto, un caro saluto!

[Samy21]

Hai fatto un disegno?

No ma in questo caso y-x=0 è la bisettrice del primo quadrante.

Risolvendo l'integrale ottengo

$\int_0^{+\infty}\int_x^{z+x} e^{-y} dy dx=1-e^(-z)$.

Non capisco perchè hai scritto $z$ invece di tenere $v$ dato che in origine avevamo indicato $V=Y-V$.

Grazie.